【原】压轴题打卡29：二次函数有关的综合问题

已知：抛物线y=a（x﹣2）²+b（ab＜0）的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．

（1）直接写出抛物线对称轴方程；

（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；

（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．

参考答案：

解：（1）抛物线对称轴方程：x=2．（2分）

（2）设直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0）．

∵抛物线经过原点，

∴B（0，0），C（4，0）．（3分）

∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AB=AC，

∴AE=BE=EC，

∴A（2，﹣2）或（2，2）．

当抛物线的顶点为A（2，﹣2）时，y=a（x﹣2）²﹣2，

把（0，0）代入，得：a=1/2，

此时，b=﹣2．（5分）

当抛物线的顶点为A（2，2）时，y=a（x﹣2）²+2，

把（0，0）代入，得：a=-1/2 ，

此时，b=2．

∴a=1/2，b=﹣2或a=-1/2，b=2．（7分）

（3）依题意，B、C关于点E中心对称，

当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形．

∵A（0，b），

∴AE=|b|，

∴B（2﹣|b|，0），

把B（2﹣|b|，0）代入y=a（x﹣2）²+b，得ab²+b=0，

∵b≠0，

∴ab=﹣1．（10分）

考点分析：

二次函数综合题。

题干分析：

（1）根据y=a（x﹣2）²+b直接得出答案；

（2）根据直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0），以及抛物线经过原点，得出B（0，0），C（4，0），进而求出AE=BE=EC，当抛物线的顶点为A（2，﹣2）时，以及当抛物线的顶点为A（2，2）时求出即可；

（3）根据B、C关于点E中心对称，当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形，即可求出．

解题反思：

此题主要考查了二次函数的顶点式的应用以及二次函数的对称性，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．