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如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接DF，作PE⊥DF于点P，连接PB、PC，求证：∠DPB=∠FPC； 这道题看着就不是太简单的类型，条件就只有内切圆和一条垂线，让证明角相等，没有中点或者线段相等，那么全等肯定行不通了，而两个角又不在同一个三角形中，所以最大的可能性就是相似了。其实以前有过类似的题目，所以如果以前看过，那么今天这道就不能算是特别难了。 那么来找一下三角形，∠DPB在△DPB中，∠FPC在△FPC中， 而D和F都是切点，所以首先可以得到∠PDB=∠PFC， 要证明相似，还差一个角相等，或者这两个角的邻边成比例， 角相等是不可能了，如果有角相等，内角和就可以搞定了， 所以方法肯定是邻边成比例，也就是 PD：PF=BD：CF 但问题来了，这两组对边要成比例，首先就排除了自身的三角形相似来源， 所以只能通过其他的相似比例来转化， 也就是说BD：CF和PD：PF需要由其他的相似来转换为相等关系， 那么再来看看条件，还要一条垂线没用上， PE⊥DF，有90°角存在，那么就可以构造Rt△， 所以先连接DE和FE， 那么形成的Rt△有两个，分别是△FPE和△DPE， 接下来就是找和它们分别相似的三角形了， 注意回顾上面我们提到的需要证明成比例的线段， BD、CF，同时还要有直角， 那么连接内心和三个切点， 连接后还没有Rt△，所以我们连接内心O和端点B、C， 这样子就将BD和CF放入Rt△了， 现在直角都有了，再来一组角相等就可以找到相似， 注意OB是∠DOE的平分线，而∠PFE是∠DOE的圆周角， 所以就有∠DOB=∠PFE， 同时∠BDO=∠EPF=90°， 所以△BDO∽△EPF， 那么BD：PE=OD：PF， 我们将OD、OE和OF都换成半径r，这样容易分辨， 即BD：PE=r：PF， 换成相乘形式PE·r=BD·PF ① 那么同样的方法，∠PDE=∠FOC， ∠DPE=∠OFC=90°， 所以△DPE∽△OFC， 那么PD：r=PE：CF， 换成相乘形式PE·r=PD·CF ② 结合①②可得 BD·PF=PD·CF 即BD：CF=PD：PF， 同时∠PDB=∠PFC， ∴△BDP∽△CFP， ∴对应角相等， 结论成立。 |
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