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三角函数图象与性质问题之ω的应用 Ø方法导读 近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解诀生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重点和难点.要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题. Ø高考真题 【2019·全国Ⅲ卷理·12】设函数 ,已知 在 有且仅有5个零点,下列四个结论: ①在 有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在 单调递增④ 的取值范围是 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ Ø解题策略 【过程分析】 方法一:首先由得到,再结合在有且仅有5个零点,得到,从而得到的取值范围;然后由知,结合图像可以判断出极值点的个数;又因为时,联系到在单调递增,可知,得出满足条件的的取值范围,与大前提对比,看是否满足要求. 方法二:函数在有且仅有5个零点,结合图像可知恰 好位于第五个交点和第六个交点之间(包括第五个不包括第六个), 从而可判断出极值点情况,且,得出的取值范围, 再根据结合正弦函数的图像分析可得结论. 【深入探究】 在三角函数的图像与性质中,与有关的问题,往往难度相对比较大,常常利用整体换元的思想,数形结合的思想求解.数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.运用数形结合的思想方法,可更好的理解三角函数的图象和性质.如三角函数的定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性,对称性等都可以从三角函数的图象上直观的显现出来,而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质.因此,明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法,拓宽思维空间,提高解决问题的能力. Ø解题过程 方法一: 当时,,∵在有且仅有5个零点, ∴,∴,故④正确; 由,知时,令时取得极大值,①正确; 极小值点不确定,可能是个也可能是个,②不正确;因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,当时,,若在单调递增,则,即,∵,故③正确. 方法二: 如图,根据题意知,,根据图像可知函数在有且仅有个极大值点,所以①正确;但可能会有个极小值点,所以②错误;根据,有,得,所以④正确;当时,,因为,所以,所以函数在单调递增,所以③正确.
Ø解题分析 本题为三角函数与零点结合问题,难度大,可数形结合,分析得出答案,要求高,理解深度高,考查数形结合思想.注意本题中极小值点个数是动态的,易错,正确性考查需认真计算,易出错. 方法一通过整体换元得到,得到的取值范围,再结合正弦函数的图像分析得出答案. 方法二结合图像确定,即,得出的取值范围,从而分析可得结论.
Ø拓展推广
(一)函数图象的平移变换解题策略 (1)对函数,或的图象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移个单位,都是相应的解析式中的变为,而不是变为. (2)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移. (二)结合图象及性质求解析式的方法 (1)求,,已知函数的最大值和最小值,则,. (2)求,已知函数的周期,则. (3)求,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,,,已知). ②五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口,具体如下: “第一点”(即图象上升时与轴的交点中距原点最近的交点)为; “第二点”(即图象的“峰点”)为; “第三点”(即图象下降时与轴的交点)为; “第四点”(即图象的“谷点”)为;“第五点”为. (三)三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 (1)已知三角函数解析式求单调区间. ①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”; ②求形如或(其中,)的单调区间时,要视“”为一个整体,通过解不等式求解.但如果,那么一定先借助诱导公式将化为正数,防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. (3)利用三角函数的单调性求值域(或最值).形如或可化为的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决. (四)三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法 (1)求三角函数的最小正周期,一般先通过恒等变形化为,,的形式,再分别应用公式,,求解. (2)对于函数,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线或点是否为函数的对称轴或对称中心时,可通过检验的值进行判断. (3)若为偶函数,则,同时当时,取得最大或最小值. 若为奇函数,则,同时当时,. (五)三角函数的图象及性质与三角恒等变换相结合的综合问题 (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式. (2)利用公式求周期. (3)根据自变量的范围确定的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为二次函数的最值. 变式训练1 函数在区间上至少存在个不同的零点,则正整数的最小值为( ) A B C D 变式训练2 已知函数在区间上单调,且在区间内恰好取得一次最大值,则的取值范围是( ) A B C D 变式训练3 设函数,若在区间上单调递增,则下列说法中不正确的是( ) A 存在使得函数为奇函数 B 函数的最大值为 C 的取值范围为 D 存在个不同的使得函数的图像关于对称 变式训练4 已知,,其中,若函数在区间内有零点,则实数的取值可能是( ) A B C D 变式训练5 已知函数在上的图像有且仅有个最高点,下面四个结论: ①在上的图像有且仅有个最低点; ②在至多有个零点; ③在单调递增; ④的取值范围是. 正确的结论是( ) A ①④ B ②③ C ②④ D ②③④ 答案 变式训练1 B 函数在区间上至少存在个不同的零点,,根据题意得到只需要,最小整数为. 变式训练2 B ,∴是函数含原点的递增区间.又∵函数在上递增,∴,∴得不等式组:,且,又∵,∴,又函数在区间上恰好取得一次最大值,根据正弦函数的性质可知 且 ,可得 .综上: . 变式训练3 A 存在使得函数为奇函数 由题意 , 显然不存在使得函数为奇函数,故A错误; ,故B正确; 由于在区间 上单调递增, 故 ,解得 ,故C正确; 令 , ,解得 ,, 由知的取值为 ,故D正确. 变式训练4 D  由题 , ,其中 ,  
令 ,则 , ,即 ,,
若函数 在区间 内有零点, 则 ,有解,解得 ,, 当 时, ;当 时, ;当 时, , 综合四个选项可以分析,实数的取值可能是. 变式训练5 D ②③④ 当时,可知 , 由在上的图像有且仅有 个最高点, 可知 ,解得 ,即④正确; 若 时,没有个最低点,故①错误; 如图可知②正确; 
由 ,所以 , 又, , 根据上图可知在 单调递增,可知③正确.
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