三角函数图象与性质问题之ω的应用 Ø方法导读 近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解诀生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重点和难点.要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题. Ø高考真题 【2019·全国Ⅲ卷理·12】设函数 ,已知 在 有且仅有5个零点,下列四个结论: ① 在 有且仅有3个极大值点 ② 在 有且仅有2个极小值点 ③ 在 单调递增④ 的取值范围是![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif) 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ Ø解题策略 【过程分析】 方法一:首先由 得到 ,再结合 在 有且仅有5个零点,得到 ,从而得到 的取值范围;然后由 知 ,结合图像可以判断出极值点的个数;又因为 时 ,联系到 在 单调递增,可知 ,得出满足条件的 的取值范围,与大前提对比,看是否满足要求. 方法二:函数 在 有且仅有5个零点,结合图像可知 恰 好位于第五个交点和第六个交点之间(包括第五个不包括第六个), 从而可判断出极值点情况,且 ,得出 的取值范围, 再根据 结合正弦函数的图像分析可得结论. 【深入探究】 在三角函数的图像与性质中,与 有关的问题,往往难度相对比较大,常常利用整体换元的思想,数形结合的思想求解.数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.运用数形结合的思想方法,可更好的理解三角函数的图象和性质.如三角函数的定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性,对称性等都可以从三角函数的图象上直观的显现出来,而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质.因此,明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法,拓宽思维空间,提高解决问题的能力. Ø解题过程 方法一: 当 时, ,∵ 在 有且仅有5个零点, ∴ ,∴ ,故④正确; 由 ,知 时,令 时取得极大值,①正确; 极小值点不确定,可能是 个也可能是 个,②不正确;因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,当 时, ,若 在 单调递增,则 ,即 ,∵ ,故③正确. 方法二: 如图,根据题意知, ,根据图像可知函数 在 有且仅有 个极大值点,所以①正确;但可能会有 个极小值点,所以②错误;根据 ,有 ,得 ,所以④正确;当 时, ,因为 ,所以 ,所以函数 在 单调递增,所以③正确. ![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif)
Ø解题分析 本题为三角函数与零点结合问题,难度大,可数形结合,分析得出答案,要求高,理解深度高,考查数形结合思想.注意本题中极小值点个数是动态的,易错,正确性考查需认真计算,易出错. 方法一通过整体换元得到 ,得到 的取值范围,再结合正弦函数的图像分析得出答案. 方法二结合图像确定 ,即 ,得出 的取值范围,从而分析可得结论. Ø拓展推广
(一)函数图象的平移变换解题策略 (1)对函数 , 或 的图象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移 个单位,都是相应的解析式中的 变为 ,而不是 变为 . (2)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移. (二)结合图象及性质求解析式 的方法 (1)求 , ,已知函数的最大值 和最小值 ,则 , . (2)求 ,已知函数的周期 ,则 . (3)求 ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时, , , 已知). ②五点法:确定 值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口,具体如下: “第一点”(即图象上升时与 轴的交点中距原点最近的交点)为 ; “第二点”(即图象的“峰点”)为 ; “第三点”(即图象下降时与 轴的交点)为 ; “第四点”(即图象的“谷点”)为 ;“第五点”为 . (三)三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 (1)已知三角函数解析式求单调区间. ①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”; ②求形如 或 (其中, )的单调区间时,要视“ ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果 ,那么一定先借助诱导公式将 化为正数,防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. (3)利用三角函数的单调性求值域(或最值).形如 或可化为 的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决. (四)三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法 (1)求三角函数的最小正周期,一般先通过恒等变形化为 , , 的形式,再分别应用公式 , , 求解. (2)对于函数 ,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线 或点 是否为函数的对称轴或对称中心时,可通过检验 的值进行判断. (3)若 为偶函数,则 ,同时当 时, 取得最大或最小值. 若 为奇函数,则 ,同时当 时, . (五)三角函数的图象及性质与三角恒等变换相结合的综合问题 (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成 或 的形式. (2)利用公式 求周期. (3)根据自变量的范围确定 的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为二次函数的最值. 变式训练1 函数 在区间 上至少存在 个不同的零点,则正整数 的最小值为( ) A B C D ![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif) 变式训练2 已知函数 在区间 上单调,且在区间 内恰好取得一次最大值 ,则 的取值范围是( ) A B C D ![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif) 变式训练3 设函数 ,若 在区间 上单调递增,则下列说法中不正确的是( ) A 存在 使得函数 为奇函数 B 函数 的最大值为![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif) C 的取值范围为 D 存在 个不同的 使得函数 的图像关于 对称 变式训练4 已知 , ,其中 ,若函数 在区间 内有零点,则实数 的取值可能是( ) A B C D ![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif) 变式训练5 已知函数 在 上的图像有且仅有 个最高点,下面四个结论: ① 在 上的图像有且仅有 个最低点; ② 在 至多有 个零点; ③ 在 单调递增; ④ 的取值范围是 . 正确的结论是( ) A ①④ B ②③ C ②④ D ②③④ 答案 变式训练1 B ![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif) 函数 在区间 上至少存在 个不同的零点, ,根据题意得到只需要 ,最小整数为 . 变式训练2 B ![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif) ,∴ 是函数含原点的递增区间.又∵函数在 上递增,∴ ,∴得不等式组: ,且 ,又∵ ,∴ ,又函数在区间 上恰好取得一次最大值,根据正弦函数的性质可知 且 ,可得 .综上: .
变式训练3 A 存在 使得函数 为奇函数 由题意 , 显然不存在 使得函数 为奇函数,故A错误; ,故B正确; 由于 在区间 上单调递增, 故 ,解得 ,故C正确; 令 , ,解得 , , 由 知 的取值为 ,故D正确. 变式训练4 D ![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/08/2922/229388456_92_20210829105014369) 由题 , ,其中 , ![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/08/2922/229388456_117_20210829105018635) ![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/08/2922/229388456_118_20210829105018744)
令 ,则 , ,即 , ,
若函数 在区间 内有零点, 则 , 有解,解得 , , 当 时, ;当 时, ;当 时, , 综合四个选项可以分析,实数 的取值可能是 . 变式训练5 D ②③④ 当 时,可知 , 由 在 上的图像有且仅有 个最高点, 可知 ,解得 ,即④正确; 若 时, 没有 个最低点,故①错误; 如图可知②正确; ![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/08/2922/229388456_134_20210829105021323_wm)
由 ,所以 , 又 , , 根据上图可知 在 单调递增,可知③正确.
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