1、增函数y=(1+1/x)x(x>0)的证法归纳: (1)y′/y=ln(1+1/x)-1/(1+x)>0?(x>0) (2)代数法【副产品:减函数y=(1+1/x)1+x(x>0)】。 (3)级数法【利用对数函数y=-ln(1-x)的幂级数证之】。 (4)导数分析法:(万能法) ln(1+x)-x/(1+x)>0.(x>0)(倒变代换) 取导后不等式仍成立。积分区间[0,x]。 2、凹函数y=(1+1/x)x(x>0)的证法归纳: (1)y′′/y=[ln(1+1/x)-1/(1+x)]2-1/[x(1+x)2]<0?(x>0) (2)ln(1+1/x)<(1+1/√x)/(1+x)(x>0). (3)级数法:参见《级数证明法的应用(三)》。 (4)ln(1+x)<x(1+√x)/(1+x)(x>0).(倒变代换) (5)导数分析法:取导后,不等式仍然成立。积分区间 (0,x]。 (6)中间函数法:李氏不等式—— (1)当0<x<1时, ln(1+x)<x<x(1+√x)/(1+x)<√x. (2)当x>1时, ln(1+x)<√x<x(1+√x)/(1+x)<x.
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