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开启《儿童早期的数学学习与教育》阅读，会相应写一些读后感，当然不只是读后感，更多的是借着书梳理自己的数学教育观。为了让自己写得更畅快，可以只择其中一两点来展开。 
紧接着第二章的感数，第三章进入计数的核心——唱数和点数。有趣的是，在论述唱数和点数之前，作者先讨论了由皮亚杰带来的数概念问题，也就是数目守恒（一般翻译为数量守恒）。原文如下：20世纪中期，皮亚杰对数的研究极大地影响了人们对早期数学的观念。其中，强调儿童在学习中的主动作用以及儿童建构数学概念的深度是其众多积极影响中最突出的两点。然而，也有一个观点来源于皮亚杰的负面影响：在儿童理解数目守恒之前，数数是没有意义的。（摘自《儿童早期的数学学习与教育》P32）这里提到的数目守恒，是指“数量”这一性质不受物体的大小、排列方式等等的影响。但儿童未形成数目守恒结构，像下面两列物体的排列，就会觉得下一行数量更多。哪怕重新数一次，确认两行的数量都是7，也会给出一样的结论。
皮亚杰从数目守恒结构中，分梳出了两个关键结构——“类包含”结构和“序列”结构（后期分别指向基数和序数）。我们可以举书上的例子来对“类包含”结构做一解释，儿童在形成“类包含”结构之前，对于“有12颗木珠，其中8颗蓝色，4颗红色”这一情况，会认为蓝木珠比木珠数量多。 当然，我们不可能通过作者这样的几段描述就理解皮亚杰关于数目守恒的观点。因为，理解皮亚杰学说比阅读这本书要难很多，我们不能指望通过对一本难度不高的书的阅读而理解一个难得多的概念，理解并无捷径可走。作者可能也并没有想这样去做，还是回到我们之前谈到的“教学与发展”的问题。数目守恒结构的形成大概要在7周岁，那么在儿童形成数目守恒结构之前，应不应该进行计数活动？对此皮亚杰的回答是消极的，他认为教学应该从属于发展，结构未形成，教学便没有价值。而作者则持维果茨基的观点——教学应该引领发展，在数目守恒结构形成之前，就应该学习计数知识，我们引一段原文：儿童必须学习这些概念（注：指类包含和序列）才能很好地理解数。然而，儿童在掌握这些概念之前就已经学习了很多关于数数的知识。并且，实际上并非在有意义数数之前必须获得这些知识，相反，数数能够帮助儿童理解逻辑知识。也就是说，数数能够促进分类和序列知识的发展。（摘自《儿童早期的数学学习与教育》P33）唱数经常也被称为背数，也就是儿童按照数的顺序背出数来。但是，唱数又不等于死记硬背，因为阿拉伯数字的结构，熟练的唱数需要基于数字结构的认识。这种数字结构在数的发音上也体现得很明显。在英语世界里，是从二十开始呈现了规律。而中文世界则从十开始就呈现了规律——“1-9”会在后面不断重复，儿童只需记住十位的变化，即可重复“1-9”的唱数经验，一直唱数到一百。第一步，儿童需要会唱“1-9”。现在多数孩子生活在丰富的环境之中（交流频繁而丰富），在这个交流沟通的过程中自然鹦鹉学舌式的会按序发音“1-9”。到9后，儿童会遇到第一个困难，接下来要发“10”的音。当然，前几个整十数—“10”、“20”……仍然可以机械的记住，但很快儿童会从中发现规律，进而突破满十时如何继续“唱数”的困难（如唱数到29时，接下来应该是30，然后就可以重复从“1-9”的唱数经验到39，……），这是第二步。一旦突破这一困难，唱数就成熟了，计数也便可以发展到下一阶段。儿童能够有顺序的从1唱数到100，并不代表儿童已经会计数。一开始，唱数只是发音上的熟巧而言，甚至儿童并不区分数词（一二三四五对儿童来说并不意味着5个连续的数）。为唱数赋予意义就是要在儿童对数词的发音和物体之间建立“一一对应”。“一一对应”的点数，并没有那么容易。尤其是要在点数散乱的数量较多的物体，儿童很容易遗漏或者重复。如果儿童在点数中出现这样的错误，应该允许儿童用手指指着物体，即用动作辅助“一一对应”结构的建立，甚至在可以移动物体的情况下，可以让孩子一边数一边重排物体。而随着孩子能力的提升，这一些辅助手段也应该慢慢地抽离，最后能够用眼睛看加上一定的策略准确的点数。当然，在计数中还有一个问题很重要——计数时所说的最后一个数词表示已数物体的数量，这并非像我们通常处理的那样不言而喻。计数时我们说出的数词其实是取数的序数含义，而因最后一个数词得到的物体的数量却是数的基数含义，这里是如何做到从序数含义到基数含义转化的？我们举一个例子，数一堆围棋，最后一个数到的数词是9，说明的是这堆围棋子能够和“1-9”这9个数字建立一一对应。按照基数含义，能建立一一对应，说明它们具有相同的数量。而从“1-9”，我们已经用这一序列中的最后一个数词“9”命名了它们的数量。当然，我们不需要为儿童解释这些，我们只需告知计数时最后一个数词就表示已数物体的数量即可。但作为数学教师，我们自己有必要理解这里面的关系。要理解它只要抓住两点即可：一是能够“一一对应”的物体具有同样的数量性质；二是，如果我们为其中的一列物体按一定的特征排定序列，即可用在序列中的位置命名数量这一性质。不过，因为太习惯用阿拉伯数字了，已经不会再去主动思考这些问题，更想象不到古代数学家在发明这一序列中的艰难进程了。在儿童具备了“一一对应”的点数能力之后，我们可以进入下一阶段——“跳着点数”，也就是我们通常说的两个两个数、五个五个数等等。结合感数，建议我们在进行跳着点数的活动时，不要超过五个五个数。进行这样的跳着点数活动，可以为以后学习2、3、5的倍数的特征积累一定的经验。另外，如果活动稍作变化，在点数时，指出几个几（如果五个五个数，数到25时，指出是5个5）可以为后续乘法学习积累活动经验。在“跳着点数”之后，可以与十进位值制结合，进行“以十为单位的点数”。不过，因为数量10已经超过了我们的感数范围，需要用一些工具（棋子满十装入小盒子等等）进行结构化，以方便儿童进行以十为单位的点数。
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