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多边形。你可以用阿基米德的方法，也就是外切和内接多边形。找一个或者画一个正 边形一一越大越好，边数越多越好。找到它的中心：如果 是偶数，那就连接两组对角顶点，两条对角线的交点就是中心；如果 是奇数，就作两条边的中垂线。然后测量下面这些量中的两个：边长（）、中心到一个顶点的距离（）、中心到一条边的垂直距离（）。你可以用等式 来计算第三个量。计算多边形周长，。因为 ，所以我们有 。例如，美国标准的停车让行标志（它的边数 相当小）的测量数据分别是 毫米， 毫米以 及 毫米。因此我们可以算出 。 圆周。测量你的自行车轮直径 。用粉笔给轮胎上与地面接触的点作个记号，也给地面上和轮胎接触的点作个记号。沿直线推动自行车，让轮胎向前转 圈，使得轮胎上的记号刚好朝下，再次和地面接触。再给地面的接触点作个记号。测量地面上两个记号间的距离 。因为 ，所以 。  圆周。在空停车场中间找一点，用粉笔作一个记号。给粉笔系上一根绳子。让一个朋友站在中间那点，手里握着绳子的另一端，然后你就用粉笔画一个大圆。测量绳子长度，记为 。找一根更长的绳子（大约为原来的六倍长），然后小心地沿着圆形的粉笔痕迹摆放这根绳子，直到绕了一圈。测量绳子长度，记为 。那么 。 圆面积。用圆规在一张纸上画一个半径为 的圆。把这个圆剪下来。然后像切比萨饼那样，把它剪成一些一样大的模形片，越多越好。比如，我们可以先对半剪，然后剪成四等份，再剪成八等份，以此类推。按图 T.11 所示，把它们重新排列。这可以被近似看成一个高为 的长方形。测量它的宽，记为 。那么它的面积就是 ，但它也等于 ，所以 。  圆面积。找一些坐标纸，越精确的越好。把圆规张开 个小格，作一个圆。数一下完全在圆内部的格子数量，记为 。再数 一下没有完全在圆外部的格子（换言之，圆可能穿过某些格子）数量，记为 。这样的话， 和 就是圆面积的下界和上界。因此 。 圆面积。这个方法需要一台精确的秤，它需要能测量小物件的重量。找一张长、宽分别为 厘米和 厘米的纸板，或者厚一点儿的卡纸。假设它的重量是 克。那么它每平方厘米的重量就是 克。在纸板或者卡纸上画一个半径为 厘米的圆。仔细地把 它剪下来并称重，记为 克。那么圆的面积就是 。因此，。 球体积。找一个和完美球体差不多的球，比如台球。在美式台球中，球直径为 英寸，也就是 厘米。找一个量筒，灌一些水（有标记的科学仪器会比厨房器具更精确）。记录下水的体积。把球完全没入水中，再记录一次水的体积。两次的差值就是球的体 积。一颗台球的排水量大约略少于 毫升。球的体积是 ，解得 。根据测得的数据，我们有 。 和与积。 有很多用到无穷和或无穷积的优雅的（或者不那么优雅的）公式。我们可以计算头几项来求近似值。计算的项数越多，近似值就越准确。 一个（简单）连分数 [2] 是具有如下形式的表达式：  数列 可以是有限的（意味着这个数是有理数），也可以是无限的（那它就是无理数）。连分数的历史悠久而有趣。关于连分数有很多美丽的定理。比如，如果取一个无限的连分数，在第 项截断，我们就得到了它的第 个渐进分数。这些渐进分数就是该数的最佳有理逼近。这里的“最佳”是有数学含义的。取一个实数 ，以及它的任意渐进分数，并把它写成最简分数 。那么 接近 ，而任何更接近 的有理数的分母都要更大。 用简单连分数表示就是 [3]  借助这一连分数的渐进分数，我们就能获得很不错的近似值。比如，第一个渐进分数是 。第二个渐进分数就是阿基米德给出的上界（见第 8 章 ）。接下来的渐进分数分别是 、 还有 。最后的这个渐进分数已经能给出 这样一个相当精确的近似值了。因此，如果我们知道 的连分数表示的前几项，就能用简易计算器算出很精确的近似值。[4] 扔针。[5]1777 年，布丰伯爵乔治–路易·勒克莱尔发明了一个巧妙的概率学方法来估算 值。首先找一个有等间距平行线的表面一一木地板算是一个典型例子。假设线与线相隔 个单位。接下来拿一根长度为 的针或者牙签，然后丢在表面上（图 T.12）。为 了简单起见，假定 。运用三角学和微积分知识，可以证明针落在线上的概率是 。如果我们扔 次针，并且它落在线上 次，那么 。换言之，。  据说，1910 年，意大利数学家马里奥·拉扎里尼朝地上扔了 根针。其中 根落在了线上，而其长度和间距的关系是 。因此他得到了近似值 拉扎里尼极有可能编造了数据来获得这个精确得吓人的近似值。注意， 就是祖冲之得到的 近似值，同时也是我们把 的连分数表示的前四项相加得到的结果。 单摆。单摆的周期 和其长度 之间的关系由公式 给出，其中 表示重力加速度。只要单摆的振幅不太大，这个公式就成立。因此我们可以用单摆来估算 。找一根长绳子，然后在其末端系上一块重物。测量单摆从悬点到重物的重心的距离，记为 。让单摆以较小的振幅摆动。测量其周期（比如，测量它摆动 次所需的时间，再除以 ）。。 科学计算器。假设你有一台科学计算器，那只需按一下 键就好了。就这么简单。好，那如果你的 键掉了呢？如果你知道 大约是多少，而且计算器上的正弦键没坏，就可以使用下述的迭代过程。我们从 的一个近似值 开始。把它代入函数 ， 就得到了一个新的数 。如果 精确到小数点后 位， 那么 能精确到小数点后 位。例如，。注意，要使用这个方法，我们需要把计算器设置在弧度模式，而非角度模式。[6] 概率。如果两个正整数的最大公约数是 ，那么它们互质。比如， 和 就互质，而 和 则不互质（它们都能被 整除）。1881 年，恩纳斯托· 切萨罗（1859 一 1906）证明了 [7] 两个随机正整数互质的概率是 。这个定理为我们提供了多种估算 的方法。我们可以使用非概率性的方法，直接计算出互质且满足 的 有多少对。如果有 对，那么 就大约是 ，整理可得 。例如，在小于等于 的数中，有 对数（比如， 和 算作两对）。其中， 对是互质的，[8] 那么我们就能得到 。在 和 之间的 对数中，有 对互质的数，因此 .。 如果我们用 和 之间的数，就会有 对数互质，计算出的 大约是 。 我们也可以用概率学的方法。假设一个房间里有 个人，我们让每一个人都挑选一位同伴。每个人都选择一个随机数，这个数可以有任意位数字。然后同伴要判断两个人选择的数是否互质。如果有 对数互质，那么 。当然这很可能得到一个非常粗略的近似值，这是因为 很小，而且人们并不擅长选择随机数（或者判断两个数是否互质）。另一种方法是用计算机生成随机数。 我们列了一张表①，生成了 对 和 之间的数，在这之中有 对数互质，因此 。
用飞镖积分。图 T.13 中的四分之一圆的面积是 。我们可以通过扔飞镖来估算它的面积。用不着真的扔飞镖，我们可以使用随机数对 ，其中 ，。随着飞镖数量趋近于无穷，落在四分之一圆内的飞镖的数量一一或者说点的数量一一应该占总数的 （因为 的正方形面积是 ）。因此，这个比值可以用来估算 。这种计算面积的方法被称为蒙特卡洛积分。图 T.13 中的 个点是用电子表格软件的随机数生成器生成的。其中， 个点落在了圆内。因此，我们得到了近似值 。  |
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