《算术与几何的妙趣》漏掉的计数

循天园 2022-11-25 发布于广东

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七巧板三种图案的计数问题，可以很容易，也可以很复杂。一般图案和紧凑图案显然多到无穷。一些图形组可以旋转或者连续平移，令无穷多的图案难以计数（就像实数而非整数一样无穷多）。而整齐图案的数量则是有限的：在图案构造中每增加一块板，拼板只能摆放在有限数量的位置上。

这样逐步建立的方法让我们能够找到整齐图案数量的最大值（上限），步骤如下。

构造图案的每一步中，将七巧板 30 条边中的 2 条（或更多）拼接在一起。这里的“边”指的是组成七块板的基本三角形 t 的边，七块板总共有 30 条这样的边。我们给每条边编上 1 到 30 的号码。
构造一个图案需要 6 步，因为放了第一块板以后，我们用 6 步来拼接剩下的板。
在 1 到 30 之间，最多用 12 个数字就可以确定一种可能的摆法：最初两个数字表示第一次拼接的两条边，接下来的两个数字表示第二次拼接的两条边，依此类推。
结论：最多有 30¹² = 5.3×10¹⁷ 个整齐图案。

2. 七巧板之谜
A．一个一般图案最大的边数是多少？
一切都取决于我们把什么算作图案的边。
如果把一块板的顶点放在另一块的边上，托着第一块板顶点的边仍视为一条边，答案就是23。如图案1所示，一个女人向前伸出双臂，七块板的23条边都保留了下来。
或者，将托着第一块板顶点的边算成两条边，因为沿着图案的边界走，我们会先经过这条被切断的边的一部分，而后再经过另一部分。这样答案就是29（23+6），因为我们会连着6次增加一条边。
B．一个紧凑图案最大的边数是多少？
答案是23。
我们设法连续6次把一块板放在一条更长的边上，并让长边在前和后各留出一截。每次虽然少了一条边（被放置板块的一条边消失了），却因那条长边前后新生两条边而又增加一条边。
我们可以看出（图案2），这样的操作可以连续进行6次，并且七块板的最初边数23在拼得的图形中没有改变。
C．一个整齐图案最大的边数是多少？
答案是18。下面是罗纳德·里德提出的巧妙证明。
七巧板的七块板总共有30条“边”，而这里“边”指的是小等腰直角三角形t的边。比如，按照这种特殊定义，每个大直角三角形t''的周长由6条“边”组成。当我们构造一个整齐图案时，每增加一块板，必定至少将30条“边”中的两条拼接在一起，而这两条将不再是最终图案的“边”。在构造图案的过程中，消失的“边”数不可能少于12（连续6次，每次消失2条）。我们能得到的最好结果就是18条“边”的图案。
图案3中的小狗就是证明。该图案中18条特殊意义的“边”又恰巧是小狗图案通常意义上的边。于是，通常意义上有可能留有18条边，我们无法再改善。

当然，若干不同的 12 个数字组成的序列可能得到同一个图案，有些序列可能因为重叠或在选择 12 个数字时选到不可用的边而无法得到真实的图案。我们刚刚算出的数字其实是一个很宽泛的上限。

整齐图案的准确计数问题实在是太难了，直到 2004 年才有解。罗纳德·里德借助计算机程序得出总共有 4 842 205 个图案。这一计数结果并未广为流传。无论是法文还是英文版的维基百科都没有提到它。而且，据我所知，没有任何网站和书籍提及该结果，就连我自己也不觉得它已经过论证。

最后一个困难的计数问题值得仔细研究。为了避免滑动，我们假设紧凑图案具有下面的属性：若板的两个边共用一条线段，则必共用一个端点。

这些“对齐图案”（英文称作 fully matched）的数量比整齐图案还多。显然，任何整齐图案都是对齐图案，反之却不然。例如，图案 31（参见“七巧板的世界”图 e）不是整齐图案（虽然某些板共用一条线段，基础三角形 t 的边却没有对应好），但按照上述意思却是一个对齐图案。

很容易看出，只要对齐图案的一块板放好了，其他板的顶点便只能占据平面上有限数量的点。因此，对齐图案的数量也是有限的。维基百科指出应该有 613 万个对齐图案。这个数字与罗纳德·里德算出的整齐图案数量差太多，根本不匹配，但再没有比这更精确的数字出现。我无法查明这一结果是近似估计值，还是没有完整重现的精确计算成果。

若允许图案里有空洞，便可拼出更多有趣的图样，或者干脆不用完所有的拼板，甚至允许拼板之间存在重叠等等。这个举世闻名的游戏似乎有一系列计数问题至今尚未探讨。

3. 马丁·加德纳的五边形图案
用七巧板摆出的 53 个五边形之中，只有 22 个是整齐图案（绿色）。近来，菲利普·穆同开发了一个计算机程序，证明七巧板的确能生成 22 个五边形整齐图案。另外，他还成功得出以下结论：有200个六边形整齐图案、1245 个七边形整齐图案、6392个八边形整齐图案和27133个九边形整齐图案。