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如果趋向任意圆的每一个点有按照距离的任意比增加或者减小的同等的向心力：需求力，由它位于一条直线上任意位置的一个小物体被吸引，直线在圆的中心垂直立于圆的平面。 设以A为中心，任意AD为间隔，在与直线AP垂直的平面上想象着画一个圆；并需求力，由它任意小物体P被向着同一个圆牵引。从圆上任意的点E向被吸引的小物体引直线PE。在直线PA上取PF等于PE，并竖立成直角的线FK，它如同力，由这个力点E牵引小物体P。再设曲线IKL是点K持续接触的曲线。曲线交同一个圆的平面于L。在PA上截取PH等于PD，并立垂线HI交前述曲线于I；则小物体P向着圆的吸引如同面积AHIL乘以高度AP。此即所求。
因为在AE上取极短的线Ee。连结Pe，且在PE，PA上取PC，Pf等于Pe。又因为力，由它在前述平面上以A为中心，任意AE为间隔所画的环的任意点E被物体P吸向自身，被假定为如同FK，且因此力，由它那个点向着A牵引物体P，如同（AP×FK）/（PE），则力，由它整个环向着A牵引物体P，如同环和（AP×FK）/（PE）的联合；但是那个环如同半径AE和宽度Ee之下的矩形，且这个矩形（由于PE和AE，Ee和CE成比例）等于矩形PE×CE或者PE×Ff；力，由它这个环向着A牵引物体P，如同PE×Ff和（AP×FK）/（PE）的联合，亦即，如同容量Ff×FK×AP，或者如同面积FKkf乘以AP。且所以力的和，由它们在以A为中心，AD为间隔所画的圆中的所有环，向着A牵引物体P，如同整个面积AHIKL乘以AP。此即所证。 系理1 因此，如果点的力按照距离的二次比减小，这就是，如果FK如同1/（PFquad.），因此面积AHIKL如同1/（PA）-1/（PH）；小物体P向着圆的吸引如同1－（PA）/（PH），亦即如同AH/PH。 系理2 并且一般地，如果在距离为D的点的力与该距离的任意次方Dn成反比，这就是，如果FK如同1/（Dn），且因此面积AHIKL如同1/（PAn-1）－1/（PHn-1）；小物体P向着圆的吸引为如同1/（PAn-2）－（PA）/（PHn-1）。 系理3 并且如果圆的半径增大以至无穷，且数n大于1；小物体P向着整个无穷平面的吸引与PAn-2成反比，因为另一项（PA）/（PHn-1）消失。 |
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