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众所周知，几何直观是《数学课程标准（2011）》的十大核心史宁中：如何理解直观与几何直观—几何直观与小学数学（上）概念之一。在小学数学教学中，如何培养学生的几何直观能力，是一个有难度但又很有意义的话题。我愿意尝试带领大家一起探讨这个话题，分享我的一些研究成果，以供广大教师在日常教学中参考。我们首先来讨论如何理解直观与几何直观。 一、问题的提出从某种程度上讲，直观和几何直观都是哲学或者心理认知学的名词。德国哲学家康德在《纯粹理性批判》一书中曾说过：人类的一切知识都是从直观开始的，从那里进到概念，而以理念结束。20世纪最伟大的数学家希尔伯特非常敬佩康德，把康德的这句话作为自己著作《几何基础》的卷首扉页题词。现在“直观”这个词哲学上用得非常多。比如，现象学的创始人、当代哲学家胡塞尔，就反复使用“直观”这个词。“直观”究竟是什么意思呢？哲学中，唯心主义和唯物主义最大的区别在于，人获取的知识是否都是源于经验的。根据唯心主义，康德认为：人的一切知识并非都来源于经验；人类具有认知的能力，称为直观（觉）；有一种先验于经验的直观，称为先验直观，包括时间、空间和因果关系三个方面。 暂且不讨论哲学上的问题，一些很有意思的问题值得我们思考：对于同样的物理现象，为什么不同的人会得到不同的结论，从而获得不同的知识和不同的认知呢？教育应该负起什么样的责任？教师应该培养孩子什么呢？ 二、人和动物最大的区别1.教育的本质。 教育的本质究竟是什么？1998年，我在《关于教育的哲学》一文中讨论了一个很重要的问题：“教育到底是人类生存的需要，还是社会发展的需要？”我当时得到的结论是，教育是人类的一种本能，它不仅是社会发展的需要，更是人类生存的需要，目的是人能更好地生存。经过10多年的思考，我发现当时的结论不够全面，如果教育仅仅是一种本能的话，为什么人还要上学呢？后来，我又提出一个命题：教育应当充分地彰显人与动物的巨大区别。这里所说的动物是指除人以外的所有动物。 2.扩容的脑容量。 传统的说法认为，人和动物最大的区别是人会劳动。大家在观看《动物世界》节目时会发现，有的动物也会劳动，所以用劳动来区别人和动物是不可以的。那会不会像亚里士多德说的那样，人和动物的最大区别是人有思维呢？我发现动物也是有思维的。比如，达尔文在《人类的由来》一书中有这样一个例子：有一次，一个猎人射猎两只野鸭，都击中了翅膀掉在河的对岸，他的猎狗游过河取回，但它不可能把两只野鸭都活着叼回来，一次只能叼一只。猎狗犹豫了一下，咬死一只放在那里，把另一只活着叼回，然后再回去取被咬死的那只。达尔文顺势提问：狗的这种行为，是本能还是思维的结果呢？ 著名的古人类学家理查德·利基在《人类的起源》中记载了一件事：有一次，一只狒狒摘到了一根香蕉，后来看到别的狒狒来了，它就把这根香蕉藏了起来，若无其事地在那里玩。等到别的狒狒走远，它才把香蕉拿出来吃了。换句话说，狒狒已经具有欺骗行为。理查德·利基认为，欺骗行为就是思维的结果。 美国的著名心理学家、行为科学之父盖洛普曾做过一个实验。有一次他在刮胡子时不小心把自己的皮刮破了，之后他突然萌生了一个想法：在动物的脑门上点上一个红点，然后让这只动物照镜子，如果这只动物去摸镜子，就说明它没有发现镜子中的映像是自己；如果这只动物去摸自己的脑门，说明它发现了自己。于是他就用一只黑猩猩做实验，发现黑猩猩摸自己脑门上的红点，所以猩猩已经意识到了自己。人类到了4岁的时候才能意识到自己的存在，所以黑猩猩的这种行为肯定是思维的结果。 我认为，人和动物最大的区别是先天决定的，首先就应该体现在人类具有扩充了脑容量的大脑。人的大脑容量现在是1350毫升，而与人类同体积的动物，其大脑容量最多也仅仅是400毫升。对于一般动物来说，生下来的幼崽脑容量应该是成年脑容量的二分之一。但是，新生儿脑容量只有成年人脑容量的三分之一（约400毫升）。所以，每一个人生下来时都是“早产儿”。如果新生儿脑容量是成年人脑容量的二分之一左右，那么每一名母亲都得长两米多高，而且得怀胎20个月。幸运的是，人类自身具有极强的保护新生儿的能力，新生儿在出生以后的很长一段时间里，不长肌肉，也不长骨骼，只长脑袋。所以抱小孩时，我们得托着小孩的头，因为他的脖子不足以支撑他的头部。孩子到6岁要上学的时候，脑容量已经长到成年人的90%，直到14岁时脑容量才达到1350毫升。 3.良好的发音器官。 人和动物的另一个区别是人会说话。人之所以会说话，是因为人的发音器官比较好，表现在人的喉头长在下方。跟动物一样，刚出生时婴儿的喉头长在上方，因此他可以一边哭一边吃奶。大约到了出生后第18个月时，婴儿的喉头就开始向下移动，食管跟气管分开，直到14岁的变音期，他的喉头到达成年人正常的位置。 因此，我将14岁之前的教育称作早期教育。这一阶段不要过分地使用大脑，而要开发大脑。 三、早期教育阶段应开发儿童的两种能力20世纪末，表观遗传学开始兴起。其研究者发现，所有的动物在刚出生时携带所有基因，但如果后天得不到相应刺激，所携带基因便无法得到充分表达。比如，如果在出生后1个月或2个月内不让婴儿看见东西的话，眼睛的视觉功能就会丧失。有研究者用猴子做过实验：用布蒙住刚出生的小猴子的眼睛，实验持续1个月，小猴子彻底失明。再比如，在该教孩子说话的时候却不教他说话，等孩子长大了再教说话就是一件非常吃力的事情。因此，在早期教育阶段，开发大脑是非常重要的。 人脑容量增大之后的一个非常明显的表现，就是人会制造工具。动物会使用工具，但不会制造工具。到目前为止，发现脑容量大的动物，是在200万年前出现的类人猿，而到目前发现最早的能称为工具的石器，也是200万年前出现的。因此，我们可以断定，脑容量增大了的类人猿——它们或许是人类的祖先——制造了工具。制造工具需要一种什么能力呢？我认为是想象能力。因为制造工具的难点在于人事先要想好所造工具的样子，然后再去制造。因此在小学阶段，包括在幼儿园阶段，一定要培养儿童的想象能力。 那么，语言表达培养的是什么能力呢？我认为是抽象能力。因为语言具有抽象性。在交流时，双方并没有拿出实物，但是彼此都能听懂。 综上所述，儿童在14岁之前的早期教育极为重要。小学阶段的教育是很重要的，是儿童在没有完全成熟时进行的教育，是一种开发各种能力的教育。其中，我认为培养儿童想象能力和抽象能力是非常重要的。 四、两种能力与直观的关系之所以强调直观，是因为从我个人的经验来讲，所有的数学结果都能“看”出来。重要的结果是“看”出来的，而不是证出来的。能把结果“看”出来的能力，不是教师教出来的，而是需要依靠学生自己领悟的。这个“看”的能力在本质上就是一种智慧。而我认为这种智慧主要就表现在想象能力和抽象能力，它们与直观联系得非常紧密。 因此，一个人是否会想问题，主要依靠的是经验的积累。人的知识确实是来自于经验的，但是经验是可以积累的。比如，是否会想问题，是否会做事情，这两种经验的积累，对儿童来说是极为重要的，是能够决定他一生能否很好生活的基础。 五、对直观与几何直观的理解1.对直观的理解。 在哲学中，直观是指通过对客观事物的直接接触而获得感性认识的一种方式，关注的是人如何能够认识事物。而我认为，直观是指通过对客观事物的直接接触而认识事物的一种方式，关注的是人是如何认识事物的。我认为教育学与哲学（以及心理学）的一个重大区别表现在，教育学关心的是人如何认识事物，不应考虑人这样表现的理由。因此，在这种意义上，我们可以将直观分为两种：一种是感性直观，另一种是理性直观。 （1）感性直观。 感性直观是指接触到客观事物，基于生活经验，直接通过联想、类比、分类等，对客观事物建立起相应的知识联系。它运用的是知觉和感性认识。正如康德所说，人受外部对象的刺激并做出适当的反应而产生的表象就是感性直观。它不仅有感性经验，还有知觉判断，进而形成知识。换句话说，感性直观就是人对事物的表象马上产生的一种认识，但这种认识跟逻辑思维的关系并不密切。 （2）理性直观。 一个数学直观非常好或者数学素养非常高的人，可以越过长时间的思考马上看到结果。我们将这种直观称为理性直观，它是指当遇到问题后，一个人能够跨越长时间的理性思考和逻辑分析过程，基于思维经验直接认识问题，理解问题的本质，找到解决问题的思路，推断出问题的结论。我认为，教育只需要关心三件重要事情：一是理解事物的本质，二是启发解决问题的思路，三是直接推断问题的结论。此时便需要运用概念，因此，这是一种理性的分析。 （3）数学教育与数学直观的关系。 正在修订的高中数学课程标准中提出，要发展学生的数学核心素养，最终使学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。“三会”就是数学核心素养的本质。无论进行怎样的课程改革，如果要用一句话表达数学教育的根本，那就是培养学生的数学直观。因为数学的结论是“看”出来的，不是“证”出来的。“看”依赖的就是数学直观，是“三会”的现实表现。 备课时，教师们都关注过程性目标，我建议在过程性目标上再加上几句话：经历过程之后，要让学生感悟数学的本质，积累思维的经验和做事的经验。仅仅经历过程是不行的，还要让学生理解数学本质，感悟数学思想。《数学课程标准（2011）》在传统的基础知识和基本技能的基础上，增加了感悟数学基本思想，积累数学基本经验。我认为，基本经验只有两个：一个是思维的经验，另一个是做事的经验。 数学核心素养是要回答通过数学教育，培养什么样的人的问题。现在看来，从基础教育到大学阶段的数学教育，除培养学生的科学精神、实践能力和创新意识之外，还希望学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。这即是数学教育的培养目标，也是对经过数学教育而培养出的人的描述。“会用数学的眼光”就是抽象，即一般性地看问题，舍去物理背景地看问题；“数学思维”就是逻辑推理；在现代社会中，“数学的语言”就是模型。我们最终就是要培养学生抽象、推理、模型这三种思想。 数学直观是一个人经过日积月累的数学思维而形成的，是逐渐养成的一种思维习惯，一种数学素养。在这种意义上，所有的学科都应该把培养学生的直观作为本学科的终极培养目标。因此，直观是极为重要的，希望教师们在日常课堂教学中逐渐开始渗透。 2.对几何直观的理解。 数学直观不仅包含几何直观，还包含代数直观、统计直观，但是只有几何直观好理解、看得见、摸得着。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特曾说过：算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式，没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。这句话的意思是，在思考问题时，我们往往通过画几何图来理解问题，启发思路，得到结论。正如前文所述，这正是直观的三个本质功能。但是，仅仅通过几何是不行的，最后要通过代数式进行刻画。比如在高中阶段，学生在做几何题目时要想到代数式，看到代数式时头脑中要有几何图形。在小学阶段，要让学生在看图时，头脑中可以产生一种关系，以帮助学生理解问题中的某种规律，这样才能称为几何直观。换句话说，只有利用图形、图形的关系、图形的变化和运动的轨迹，来实现直观的三个本质功能，才是几何直观。 几何直观不仅可以用来解决数学问题，还可以用来解决生活问题和科学问题。具备良好几何直观的人，在生活中遇到问题时头脑中也会浮现出一些几何图，会主动选择画图来帮助解决问题。在遇到科学问题时，很多物理学家、化学家和生物学家，都具备极好的数学直观。有时，他们经过分析得到的数学结论，却需要数学家们花费10多年来给予证明。 代数直观是指利用数、数的关系、代数式、代数式的关系、代数式的变换来建立直观。代数直观是很难建立的，需要经过相当多的数学训练。统计直观是指利用数据、数据的关系、数据产生的背景、随机模型来建立直观。 各种直观的培养，都需要学生长时间的思考，千万不能着急。在教学中，如果想在很短的时间内要求学生有突出表现的话，最快的方法只能是死记硬背，没有别的方法。如果教师想真正达到启发学生学会思考，并内化成学生的个人能力，需要长时间的积累。这就是我们总提及要让学生积累思维经验的根本原因。 |
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