必刷小题4 函数与方程一、单项选择题 1．函数f(x)＝ex＋2x－5的零点所在的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案 B 解析 函数f(x)＝ex＋2x－5在R上单调递增，而f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－1>0， 由函数零点存在定理知，函数f(x)的唯一零点在区间(1,2)内． 2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是( )
答案 D 解析 小明沿 沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小， 沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确． 3．函数y＝的图象大致是( )
答案 D 解析 因为y＝＝－，x≠0，故y＝为奇函数，图象关于原点成中心对称， 将函数图象向右平移1个单位长度可得y＝的图象， 所以y＝的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A，B； 又当y＝＝0时，x＝0或x＝2，故y＝的图象与x轴有2个交点，排除C. 4．在使用二分法计算函数f(x)＝lg x＋x－2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算________次区间中点的函数值( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 C 解析 因为区间(1,2)的长度为1，每次二等分都使区间长度变为原来的， 3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为3＝>0.1，不满足题意， 4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为4＝<0.1，满足题意． 5．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数模型：P(s)＝P0e－Ks描述声压P(s)(单位：帕斯卡)随传播距离s(单位：米)的变化规律，其中P0为声压的初始值，常数K为试验参数．若试验中声压初始值为900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K的估计值约为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( ) A．0.162 B．0.164 C．0.166 D．0.168 答案 B 解析 由题意知，400＝900e－5K， 两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K， 所以K＝＝≈＝0.164. 6．已知f(x)＝则函数y＝3f2(x)－2f(x)的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C 解析 由题设，当x<0时，f(x)∈R且单调递减，当x≥0时，f(x)∈(0,1)且单调递减， 令t＝f(x)，则y＝3t2－2t＝0，可得t＝0或t＝，作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图知，当t＝0时有一个零点，当t＝时有两个零点，故共有3个零点． 7．已知函数f(x)＝2x＋log2x，且实数a>b>c>0，满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是( ) A．x0<a B．x0>a C．x0<b D．x0<c 答案 D 解析 由函数的单调性可得， 函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增， 由f(a)f(b)f(c)<0, 则f(a)，f(b)，f(c)为负数的个数为奇数， 选项A，B，C可能成立； 对于选项D，当x0<c时， 由函数的单调性可得f(a)>0，f(b)>0，f(c)>0， 即不满足f(a)f(b)f(c)<0， 故选项D不可能成立． 8．(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋1)恰有3个零点，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 令g(x)＝f(x)－loga(x＋1)＝0，可得f(x)＝loga(x＋1)， 所以曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)有三个交点，
当a>1时，曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)只有一个交点，不符合题意； 当0<a<1时，若使得曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)有三个交点， 则解得<a<. 二、多项选择题 9．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则PP棉滤芯层数不可能为( ) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 ABC 解析 由题意得，经n层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为50n＝50×n，n∈N*， 则50×n≤2.5得，20×n≤1， 所以lg 20＋lgn≤0， lg 10＋lg 2＋n(lg 2－lg 3)≤0， 所以1＋0.3＋(0.3－0.48)n≤0,1.3≤0.18n， 得n≥， 因为n为正整数， 所以n的最小值为8. 10．设函数f(x)＝则g(x)＝f(x)－m的零点个数可能是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 AB 解析 由函数f(x)＝得f(－1)＝f(1)＝－1， 则函数g(x)＝f(x)－m的零点个数就是函数y＝f(x)的图象与y＝m的交点个数， 画出y＝f(x)和y＝m的图象，如图所示，
由图可知，当m>0时，两个函数的图象有1个交点， 当m≤0时，两个函数的图象有2个交点， 所以函数g(x)＝f(x)－m的零点可能有1个或2个． 11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )
A．a＝3 B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时 答案 AD 解析 由函数图象可知y＝ 当t＝1时，y＝4， 即1－a＝4，解得a＝3， ∴y＝故A正确， 药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝， 药物刚好失效的时间t－3＝0.125， 解得t＝6， 故药物有效时长为6－＝5(小时)， 注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×＝0.5(微克)，故C错误． 12．已知定义域为R的偶函数f(x)有4个零点x1，x2，x3，x4 (x1<x2<x3<x4)，并且当x≥0时，f(x)＝x2－ax＋1，则下列说法中正确的是( ) A．实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．当x<0时，f(x)＝x2＋ax＋1 C．x1x2x3x4＝1 D．x1＋2x2＋3x3＋4x4的取值范围是[2，＋∞) 答案 BC 解析 因为f(x)为偶函数且有4个零点， 则当x>0时f(x)有2个零点， 即解得a>2，A不正确； 当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝x2＋ax＋1，B正确； 偶函数f(x)的4个零点满足：x1<x2<x3<x4， 则x3，x4是方程x2－ax＋1＝0的两个根， 则有x3>0，x3x4＝1且x1＝－x4，x2＝－x3， 于是得x1x2x3x4＝(x3x4)2＝1，C正确； 由C选项知，x1＋2x2＋3x3＋4x4＝x3＋3x4＝x3＋， 且0<x3<1，而函数y＝x＋在(0,1)上单调递减， 从而得x3＋∈(4，＋∞)，D不正确． 三、填空题 13．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是________． 答案 解析 由题可知，加密密钥为y＝kx3， 由已知可得，当x＝4时，y＝2， 所以2＝k×43，解得k＝＝， 故y＝x3，显然令y＝，即＝x3， 解得x3＝，即x＝. 14．若函数f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，e) 解析 由题意可得，函数y＝e－x与g(x)＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点， 当a>0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝lnx的图象向左平移得到的，由图象可得，若想两函数图象在(0，＋∞)上有交点只需要g(0)＝lna<1，即0<a<e； 当a≤0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝lnx的图象向右平移得到的，此时两函数图象在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件．综上可得a<e.
15．已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________． 答案 3 解析 ∵f(x)＝0⇒x＝0或x＝1， ∴f(f(x))＝0⇒f(x)＝0或f(x)＝1， 由f(x)＝0⇒x＝0或x＝1， 由f(x)＝1⇒x＝2， ∴0,1,2为函数y＝f(f(x))的零点， ∴函数y＝f(f(x))的零点之和为3. 16．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出水后时间t(分钟)满足的函数关系式为h＝m·at.若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在________分钟后开始失去全部新鲜度．(已知lg 2≈0.3，结果取整数) 答案 43 解析 由题意可得解得 所以h＝× 令h＝× 所以t＝10log220＝＝＝≈≈43(分钟)． 因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度． |
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