必刷小题11 数 列一、单项选择题 1．数列－，，－，，…的通项公式可能是an等于( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由a1＝－，排除A，C；由a2＝，排除B；分母为奇数列，分子为(－1)n，故D正确． 2．已知数列{an}为等比数列，公比为q，若a5＝4(a4－a3)，则q等于( ) A．4 B．3 C．2 D．1 答案 C 解析 由题意，得a1q4＝4(a1q3－a1q2)，解得q＝2. 3．在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9 答案 C 解析 由a2＝4，a6＝64，得q4＝＝16(q>0)， 所以q＝2，a1＝2， 所以510＝，解得n＝8. 4．定义[x]表示不超过x的最大整数，若数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则等式＋＋＋…＋等于( ) A．30 B．29 C．28 D．27 答案 D 解析 ＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝0＋(1×2)＋(2×2)＋(3×1)＋(4×2)＋(5×2)＝27. 5．等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则{an}的前8项和为( ) A．90 B．30(＋1) C．45(＋1) D．72 答案 A 解析 等比数列{an}中，a1＋a2＝6， a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝12， ∴q2＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝24，同理a7＋a8＝48， 则{an}的前8项和a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋12＋24＋48＝90. 6．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且＝，则 A. B. C. D. 答案 D 解析 因为数列{an}，{bn}都是正项等比数列，所以数列{lg an}与{lgbn}为等差数列， 因为＝，所以＝＝ ＝ 则 7．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于( )
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 答案 D 解析 设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1， 则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3， 依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2， 且＝0.725， 所以＝0.725， 故k3＝0.9. 8．等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－5，a3＝－1.记bn＝(n＝1,2，…)，则数列{bn}的( ) A．最小项为b3 B．最大项为b3 C．最小项为b4 D．最大项为b4 答案 C 解析 等差数列{an}中，a1＝－5，a3＝－1， 所以d＝2，an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，Sn＝－5n＋×2＝n2－6n， 则bn＝＝，令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝>0， 故f(x)在，上单调递增，没有最大值， 因为b1＝1，b3＝9，b4＝－8，结合数列的函数特性易得，当n＝4时，bn取得最小值． 二、多项选择题 9．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A．a7 B．a8 C．S15 D．S16 答案 BC 解析 由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值， S15＝＝15a8为定值， 但S16＝＝8不是定值． 10．下列说法正确的是( ) A．任意等差数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等差数列 B．存在等差数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等差数列 C．任意等比数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等比数列 D．存在等比数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等比数列 答案 ABD 解析 A项，若{an}和{bn}都是等差数列，不妨设an＝k1n＋b1，bn＝k2n＋b2， 故可得an＋bn＝(k1＋k2)n＋b1＋b2，则an＋1＋bn＋1＝(k1＋k2)(n＋1)＋b1＋b2， 则an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝k1＋k2，故数列{an＋bn}是等差数列，故A正确； B项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等差数列，故B正确； C项，若{an}和{bn}是等比数列，设an＝a1q，bn＝b1q，故可得an＋bn＝a1q＋b1q，an＋1＋bn＋1＝a1q＋b1q，则＝，不是常数，故{an＋bn}不是等比数列，故C错误； D项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等比数列，故D正确． 11．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有( ) A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列 C．an＝2·3n－1 D．an＝ 答案 ABD 解析 由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)， 当n≥2时，an＝2Sn－1， 两式相减，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an， 可得an＋1＝3an，即＝3(n≥2)， 又a1＝1，则a2＝2S1＝2a1＝2，所以＝2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝ 当n≥2时，Sn＝＝＝3n－1， 又S1＝a1＝1，适合上式， 所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1， 又＝＝3， 所以数列{Sn}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的． 12．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若an>0，a1＝，Sn<2，则{an}的公比可取的值为( ) A. B. C. D．2 答案 AB 解析 设等比数列{an}的公比为q，则q≠1. ∵an>0，a1＝，Sn<2， ∴{an}是递减数列，×qn－1>0，<2， ∴1>q>0且1≤4－4q，解得0<q≤. ∴{an}的公比的取值范围是， 故{an}的公比可取的值为或. 三、填空题 13．已知数列{an}满足a1＝1，－＝1，则a5＝________. 答案 － 解析 ∵－＝1，∴是以＝为首项，1为公差的等差数列， ∴＝＋(n－1)×1＝n－，∴＝5－＝，解得a5＝－. 14．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________. 答案 2 解析 由题意，得 解得 所以q＝＝＝2. 15．在数列{an}中，a1＝2，且nan＋1＝(n＋2)an，则an＝________. 答案 n(n＋1) 解析 由已知得，＝，则有＝，＝，＝，…，＝，＝，将这(n－1)个等式相乘得，＝，则an＝n(n＋1)． 16．已知数列{an}的前n项和为Sn.且a1＝1，{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列，则a2＋a4＋…＋a2n＝________. 答案 解析 S1＝a1＝1，则lg S1＝lg 1＝0， ∵{lgSn}是公差为lg 3的等差数列， ∴lgSn＝(n－1)lg 3＝lg 3n－1，则Sn＝3n－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－2＝2×3n－2， a2＝2，当n≥2时，＝＝3，∴数列{an}自第二项起构成公比为3的等比数列，可得a2＋a4＋…＋a2n＝＝. |
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