【原】2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8-11　圆锥曲线中范围与最值问题

§8.11　圆锥曲线中范围与最值问题

题型一　范围问题

例1　(2023·淄博模拟)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且k_OA＋k_OB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．

解　(1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，

根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4，

即2a＝4，所以a＝2，

又因为c＝，可得b＝＝1，

所以椭圆C的方程为＋y²＝1.

(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，k_OA＋k_OB＝0，不符合题意．

故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

联立方程组

可得(4k²＋1)x²＋8kmx＋4(m²－1)＝0，

则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

所以k_OA＋k_OB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，

由k_OA＋k_OB＝－，可得m²＝4k＋1，

所以k≥－，

又由Δ>0，可得16(4k²－m²＋1)>0，所以4k²－4k>0，解得k<0或k>1，

综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．

思维升华　圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

跟踪训练1　(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y²＝2px(p>0)上一点C(1，y₀)到其焦点F的距离为2.

(1)求实数p的值；

(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l₁，l₂，且l₁，l₂的交点为Q，l₁，l₂与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．

解　(1)因为点C(1，y₀)到其焦点F的距离为2，

由抛物线的定义知1＋＝2，

解得p＝2.

(2)由(1)可知，抛物线E：y²＝4x，

设A，B(y₁≠0，y₂≠0)，

设l：x＝ty＋1，联立得y²－4ty－4＝0，

判别式Δ＝16t²＋16>0，故t∈R，

y₁＋y₂＝4t，y₁y₂＝－4，

设l₁：y－y₁＝k，

联立方程组

消去x，整理得ky²－4y＋4y₁－ky＝0，

所以Δ＝16－4k(4y₁－ky)

＝4(4－4ky₁＋k²y)＝0，

所以k＝，

则l₁：y－y₁＝，

即y＝x＋，

令x＝0，得M，

同理l₂：y＝x＋，N，

联立

得交点Q的横坐标为x_Q＝＝－1，

∴S_△QMN＝|MN|·|x_Q|＝×1＝＝≥1，

∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞)．

题型二　最值问题

例2　(2022·苏州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．

解　(1)由题设可知

解得

则C：－y²＝1.

(2)设点M的横坐标为x_M>0，

当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，

易知点M到y轴的距离为x_M＝2；

当直线l的斜率存在时，

设l：y＝kx＋m，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

联立整理得(4k²－1)x²＋8kmx＋4m²＋4＝0，

Δ＝64k²m²－16(4k²－1)(m²＋1)＝0，

整理得4k²＝m²＋1，

联立整理得(4k²－1)x²＋8kmx＋4m²＝0，

则x₁＋x₂＝－＝－＝－，则x_M＝＝－>0，

即km<0，

则x＝＝4＋>4，

即x_M>2，

此时点M到y轴的距离大于2.

综上所述，点M到y轴的最小距离为2.

思维升华　圆锥曲线中最值的求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.

跟踪训练2　(2023·临沂模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，直线x＝被C截得的线段长为.

(1)求C的方程；

(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且＝λ，求四边形ABF₁F₂面积的最大值．

解　(1)∵e＝＝，

∴＝，∴c²＝a²，

∴b²＝a²－c²＝a²－a²＝a²，

∴椭圆的标准方程为x²＋3y²＝a²，

由⇒y＝±，

由题可知2＝，解得a²＝3，

∴C：＋y²＝1.

(2)由＝λ，

得AF₂∥BF₁，如图，

延长BF₁，AF₂交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF₁F₂的面积为四边形ABCD的面积的一半．

由题知，BF₁的斜率不为零，

故设BF₁的方程为x＝my－，

联立

得(m²＋3)y²－2my－1＝0，

设B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，

∵Δ>0，

∴y₁＋y₂＝，y₁y₂＝，

故|BC|＝·|y₁－y₂|＝，

O到BF₁的距离d＝，

＝S_{四边形ABCD}＝×4S_△OBC

＝2××|BC|·d＝|BC|·d

＝·

＝2·＝2·

＝2·≤2×＝，

当且仅当＝，即m＝±1时取等号，

∴当m＝±1时，四边形ABF₁F₂的面积最大，最大值为.

课时精练

1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．

解　(1)∵a＝1，＝2，

∴c＝2，b²＝3，

∴双曲线C的标准方程为x²－＝1.

(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

线段MN的中点Q(x₀，y₀)，

联立得(3－k²)x²－2kmx－m²－3＝0，

依题意

即①

由根与系数的关系可得x₁＋x₂＝，

x₁·x₂＝－，

则x₀＝＝，

y₀＝kx₀＋m＝，

∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，

∴k_BQ＝＝＝－，

∴3－k²＝m，②

又k²＝3－m>0，③

由①②③得m<－或0<m<.

2．(2023·吕梁模拟)已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(，1)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为k₁，直线OB的斜率为k₂，且k₁k₂＝－，求·的取值范围．

解　(1)由题意可得

又a²＝b²＋c²，解得a＝3，b＝.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋t，

联立

消去y得(1＋3k²)x²＋6ktx＋3t²－9＝0，Δ＝12(3＋9k²－t²)>0，

则又k₁k₂＝＝－，

故y₁y₂＝－x₁x₂且x₁x₂≠0，即3t²－9≠0，则t²≠3，又y₁＝kx₁＋t，y₂＝kx₂＋t，

所以＝＝k²＋＝k²＋

＝＝－，

整理得2t²＝9k²＋3≥3，则t²≥且Δ>0恒成立．

·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂－x₁x₂＝x₁x₂＝·＝3·＝3，

又t²≥，且t²≠3，故3∈[－3,0)∪(0,3)．

当直线l的斜率不存在时，x₂＝x₁，y₂＝－y₁，则k₁k₂＝－＝－，又＋＝1，解得x＝，则·＝x－y＝x＝3.

综上，·的取值范围为[－3,0)∪(0,3]．

3．(2023·济宁模拟)已知抛物线E：y²＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p²(O为坐标原点)．

(1)求抛物线E的方程；

(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．

解　(1)由题意可得

解得p＝2.

故抛物线E的方程为y²＝4x.

(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，

易知x₁＝ty₁＋1>0，x₂＝ty₂＋1>0，

联立

消去x得y²－4ty－4＝0.

所以y₁＋y₂＝4t，y₁y₂＝－4.

由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y₁＝－t(x－x₁)，

联立消去x得ty²＋4y－4tx₁－4y₁＝0.

所以y₁＋y₃＝－，y₁y₃＝.

所以|AC|＝

＝

＝

＝

＝·|ty₁＋2|

＝·(ty₁＋2)．

同理可得|BD|＝·(ty₂＋2)，

所以|AC|＋|BD|＝·[t(y₁＋y₂)＋4]＝(t²＋1)＝8，

令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，x>0，

所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|的最小值为12.

4．已知椭圆的两个焦点是F₁(0，－2)，F₂(0,2)，点P(，2)在椭圆上．

(1)求此椭圆的方程；

(2)过F₂作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形ACBD面积的取值范围．

解　(1)由题意知，c＝2，

因为焦点在y轴，

设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

将点P的坐标代入上式得＋＝1，

联立方程

解得a²＝8，b²＝4，

所以椭圆方程为＋＝1.

(2)如图，当过F₂ 的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，

则直线AB的方程为y＝kx＋2，直线CD的方程为y＝－x＋2，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)，

联立直线AB与椭圆方程

得x²＋kx－＝0，

由根与系数的关系得x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝－，

线段AB的长为|AB|＝|x₁－x₂|＝×＝4×，同理联立直线CD与椭圆方程得到|CD|＝×|x₃－x₄|＝4×，

因为AB⊥CD，

所以四边形ACBD的面积

S＝|AB|·|CD|＝16×

＝8×，

令f(k)＝·，t＝，

则有0<t<1，g(t)＝(1＋t)是关于t的二次函数，

当0<t<1时，1<g(t)≤，所以≤S<8；

当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设k＝0，

则直线AB的方程为y＝2，

将y＝2代入椭圆方程，

得x＝±，则|AB|＝2，|CD|＝2a＝4，四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|＝8；

所以四边形ACBD面积的取值范围是.