|
希尔伯特旅馆悖论 假设有一个包含有限多个房间的旅馆，每个房间只允许住一个人，且所有的房间均已住满。那么，此时将无法再容纳一个新的客人。但要是旅馆有无限个房间，且全部都住满，此时便可以再容纳一个新的客人。方法之一便是将第二间房的客人转移到第三间房，第三间房的客人转移到第四间房，依次类推……然后让新的客人住进第一间房。 上述问题说明一个道理: 元素无穷多的集合的部分跟整体可能大小相等。 现在思考另一个问题: 所有的偶数跟所有正整数的数量哪个更大？答案似明显是所有正整数的数量更大，因为偶数只是正整数的一部分。然而，并非如此。 因为在比较两个集合元素多少时，是将两个集合的元素之间建立一一对应的关系来比较。若两集合之间的所有元素能建立一一对应的关系，那就认为他们的元素是一样多的。否则，若集合A的所有元素只能跟集合B的部分元素建立一一对应的关系，而不能跟集合B的所有元素建立一一对应的关系，那么就认为集合B的元素更多。 这样，所有正整数都乘以2就变成所有偶数，也就是所有正整数跟所有偶数之间能建立一一对应的关系。因此，所有正整数跟所有偶数的数量是一样大的，尽管都是无穷大。同理，可以证明所有奇数、所有偶数、所有有理数的数量都是一样大。 所有的无穷大都相等吗？并不是，还有更大的无穷大，比如所有实数的数量或者说数轴上的点的数量就比所有整数的数量大。也可以证明任意两条不同长度的线段上的点数跟一个任意正方形或立方体中的点数都是一样大的。那还有更大的无穷大吗？事实上所有曲线的条数就比线段上点的数量更大，因此可以将其看作第三级无穷大。 将上述三类无穷大按从小到大的顺序分别记作  这样，用于表示数量的数列就可以完整地记为   |
|
|
