【原】【不查表,你能求15°的三角函数值吗?】

  方法一

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山西中考试题

构造一个有一个锐角为15°的直角三角形,再利用锐角三角函数的定义求解。

解:如图,作△ABC,使AB=AC,且∠BAC=30°,过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥AB于点E.

∴BD=CD=(1/2)BC,∠BAD=15°,

∠ABC=∠ACB=75°.

又∵CE⊥AB,

∴∠ACE=60°,

∴∠BCE=75°-60°=15°,

∴∠BAD=∠BCE,

又∵∠ABD=∠CBE,

∴Rt△ABD∽Rt△CBE,

∴(AB/BC) =(BD/BE),

即:(AB/BC) =(1/2)BC/BE,

亦即BC2=2AB·BE,

不妨设AB=AC=2a,则CE=a,AE=(√3)a,BE=(2-√3)a, 

∴BC2=2·2a(2-√3)a=(8-4√3)a,

∴BC=(√6-√2)a,

在Rt△BCE中,由锐角三角函数的定义,得:

sin15°=sin∠BCE=(BE/BC)=(√6-√2)/4,

cos15°=cos∠BCE=(CE/BC)=(√6+√2)/4,

tan15°=tan∠BCE=(BE/CE)=2-√3.     

参考文献

人教版数学九年级下册教师教学用书

2

方法二

构造一个有一个锐角为15°的直角三角形,再利用锐角三角函数的定义求解。

解：作直角三角形ABC，使∠BAC=30°，延长CA至点D，使AD=AB，

易证∠D=15°，

设BC=a，AC=√3a，AB=AD=2a，CD=(2+√3)a，

根据勾股定理得：

BD²=a²+[(2+√3)a]²

=(8+4√3)a²

=(√2+√6)²a²，

∴BD=(√2+√6)a，

在Rt△BCD中,由锐角三角函数的定义,得:

sin15°=sin∠D=(BC/BD)=(√6-√2)/4,

cos15°=cos∠D=(CD/BD)=(√6+√2)/4,

tan15°=tan∠D=(BC/CD)=2-√3.     

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