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(一、充分利用题目中的已知条件，把已知条件合理的利用起来，一条题目就已经解成功了。这样抓住一些蛛丝马迹就能顺利的想到解题的方法。 （一）看到根号2，想到构造等腰直角三角形 1、如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点(异于A、 B)，CD平分∠ACB交 ⊙O于D点，交AB于E点; (1)弧AD=弧BD；(2)AC×BC=CE×CD；(3) AC + BC = 根号2CD; (4)连结AD、BD，四边形ACBD面积为1/2CD²; 上述结论正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
如本题中的第3个结论中的根号2CD，可以以CD为直角边构造等腰直角三角形，否则这个等腰直角三角形的斜边就为根号2CD，从而解决问题。 （二）看到两个线段的乘积或者比，想到寻找相似三角形 2、如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边 BC上，连接AF交D于点G，若BF·AD=12，则AF的长度为 .
本题可以通过题干中的“BF·AD=12”，想到构造相似三角形去解决，具体有下面两种方法。
3、由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，如图所示，连接AG并延长交CD于点M，延长BG交CD于点N，若AE∶EF=4 : 5，则AB与MN的比值为（ ）
4、如图，AB是⊙O的直径，点M是⊙O内的一定点，PQ是⊙O内过点M的一条弦，连接AM，AP，AQ，若⊙O的半径为4，AM=根号5，则AP·AO的最大值为 。
（三）不要被题目当中的一些表象所迷迷惑，比如已知条件中给你的是一个点的坐标，，实际上它是一条线，如下面两题。 1、如图，⊙O的圆心为原点，半径为1，过点（a，a﹣1）可以作⊙O的两条切线，则a的取值范围是 ．
2、平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 ． （四）由直角想到什么？ （1）、直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （2）、圆中直径所对的圆周角是直角。等等。 （3）、“K字型”全等或者相似。 1、如图在边长为4的正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，射线DE交AB于点F，连接CE，若CE⊥DF，则DE= ( )
（五）复杂图形中找基本图形 1、如图，等边三角形ABC边长为2，点D在BC边上，且BD<CD,点E在AB边上且AE=BD，连接AD，CE交于点F，在线段FC上截取FG=FA，连接BG，则线段BG的最小值是 .
2、在正方形ABCD中，E是BC边上一点(点E不与点B，C重合)，AE⊥EF垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F. (1)如图1若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是 。证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP，根据此图形易证△AEP≌ΔEFC，则判断ΔAEP≌ΔEFC的依据是 。 (2)点E在BC边上运动。 ①如图2，(1)中的猜想是否仍然成立?请说明理由。 ②如图3连接AF，DF,若正方形ABCD的边长为1，直接写出ΔAFD的周长c的取值范围。
二、数学解题的技巧与方法 （1）特殊位置法 1、如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
． （3）方程的思想 1、如图矩形ABCD的边AB与y轴平行，且A(1，m)，C(3,m+6),反比例函数 y=k/x (x>0)的图象同时经过点B与点D，则k的值为 。
（3）分类思想 1、设a1、a2、a3，…，a2021是从﹣1，0，2这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，则a13+a23+a33+…+a20213＝ ． 2、 A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下： A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折； B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折． 例如，一次购物的商品原价为500元， 去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）； 去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）． （1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式； （2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由． 3、问题:如图，在ABC中，AC=BC=5，AB=6，D在AB延长线上，DE⊥AD于点D，过B、C、D三点的⊙O交DE于点F，连结CD，CF当△CDF为等腰三角形时，求BD的长。 思路:小明在探索该问题时，发现∠CFD=∠CBA，于是作CH⊥DF于点H，然后分步求解。
请完成上述各步骤的解答。 拓展:小明发现点A关于CD的对称点始终落在⊙O上，于是他设计了如下问题:“当点A关于CD的对称点A’恰为弧CF的中点时，求BD的长”，请完成该题的解答。
（4）函数思想 1、如图,正方形 ABCD 的边长为2,点E是边 AB 上的动点,连接 ED、EC,将 ED 绕点E顺时针旋转90°得到 EN,将 EC 绕点 E 逆时针旋转 90°得到 EM,连接 MN,则线段 MN 的取值范围为 .
（5）转化思想 2、如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（ ）
2、如图,AB 是⊙O 的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB,垂足为D,AD=2,点E是⊙O上的动点(不与C 重合),点F为CE的中点,若在E运动过程中 DF 的最大值为 4,则 CD 的值为 … ( )
（6）数形结合思想
2、若二次函数y=a(x+m)²+b (a，m，b均为常数，a≠0)的图像与x轴两个交点的坐标是(-2，0)和(1.0)，则方程a(x+m+2)²+b=0的解是 。 3、如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c<n的解集是 。
4、已知二次函数y=（x-m）2-1（m为常数），如果当自变量x分别取-3，-1，1时所对应的y值只有一个小于零，那么m的取值范围是 。 （7）将军饮马 1、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
2、如图.矩形ABCD中，AB = 4, BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且S△PAB=1/2S△PCD，则PC + PD的最小值为_________・
（8）一线三等角 1、如图2，在矩形ABCD中，由8个边长均为1的正方形组成的“L型”模板如图放置，则BC的长度为 .
2、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=3/4，点M、N分别在AB、BC上，且AM=CN=2，点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且保持∠APQ=∠B。 （1）求点P在BN上运动时，点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分，求MP的长； （3）求整个运动过程点Q运动的路径长。
（9）K字型全等或者相似 1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形。连结CD，若sin∠BCD=3/5，则tan∠CDB的值为 ( )
2、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y=k/x (k>0，x>0)的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(1，0)，D(0，2)，则k的值为 。
3、如图,在平面直角坐标系 xoy中,二次函数y=ax2+bx
-2 的图像经过点A(-1,0)、B(3,0),与 y 轴交于点 C,连接 BC、AC. (1)求二次函数的函数表达式; (2)设二次函数的图像的顶点为 D,求直线 BD 的函数表达式以及 sin∠CBD 的值; (3)若点M 在线段 AB上(不与A、B重合)，点N在线段 BC上(不与B、C重合),是否存在 △CMN 与△AOC 相似,若存在,请直接写出点 N的坐标,若不存在,请说明理由.
（10）化斜为直 1、如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=3/4x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B． （1）求抛物线的解析式； （2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由； （3）动点P在抛物线上，是否存在一个点P到直线l的距离最小，若存在，求出点P的坐标，并求出点P到直线l的最小距离，若不存在，请说明理由．
2、如图，反比例函数y=3/4x+4的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）． ⑴求反比例函数与一次函数的表达式； ⑵点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
3、如图，开口向下的抛物线y= -3/8（x-m） (x-2)与x轴正负半轴分别交于A、B点，与y轴交于C点，且 AB=20C; (1)直接写出A点坐标(_ ,0)，并求m的值; (2)抛物线在第三象限内图象上是否存在一点E，在y轴负半轴上有一点F，使以点C、点E、点F为顶点的三角形与△BOC相似，如果存在，求出F点坐标，如果不存在，说明理由; (3)在线段BC上有一点P，连结PO、PA若tan∠APO=1/2，则直接写出点P坐标（ ， ）。
注：这里的∠APO的两条边没有竖直或者水平的，可以通过圆转化为有一条边是竖直或者水平的角。 （11）一箭穿心 1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE=∠BCE，点F是AB边上一动点，连接FD，FE，则 FD+FE的长度最小值为 。
（12）隐圆问题 1、如图，点E是矩形ABCD内一点，且始终有∠DAE=∠ABE,已知 AB=2, AD= 6,则线段DE的最小值是 。
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,点E为边BC上的动点.将△CEF沿直线EF翻折.点C落在点P处.则点P到边AB距离的是小值是 。
3、如图,∠MON=900,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=4,BC=1,运动过程中,点D到点O最大距离为
. 4、如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴，和函数y=x的图像上，A B=4，CB⊥AB，BC=2，则OC的最大值为 。
（13）割补法解决面积问题 1、如图，在直角坐标系中，0 为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为(4，2)，A、C分别在y轴、x轴上;若D点坐标为(1，0)，连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动;过E点作EG//AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 。
2、如图，在四边形ABCD中，∠BCD=135°，BC=6，CD=2根号2，点E，F分别是边AB，AD的三等分点，AE=1/3AB，AF=1/3AD，连接CE，CF，EF，若四边形ABCD的面积为24,则△CEF的面积是_ _.
（14）“你不来我就过去” 1、（2023扬州仪征中考一模试题第17题）如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， BC=4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是________．
3、（2023年浙江省湖州市吴兴区数学一模试卷第24题）一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将ΔABE沿直线AE折叠得到ΔAEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q. 初步探究 （1）求证:ΔAQG是等腰三角形; （2）记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值; 深入探究 (3)将矩形纸片放入平面直角坐标系中(如图2所示)，点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴 y轴正半轴重合点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到ΔAPH ①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标: ②在①的条件下，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A D两点,若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度。
（十五）熟练运用计算的法则，使计算简便（“古月数学”微信公众号有此题的讲解） 下面结合下面这一条应用题目的解答过程进行讲解。
（十六）重视综合题中一开始得出的结论，方法，下面的解题中通常还是运用到的。 1、问题提出: (1)如图1，AB为半圆的直径，0为圆心，C，D为半圆上的两点，若OB=5，CD=6，则 sin∠DBC= . 问题探究: (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在直线AB的右侧，且满足tan∠APB=2，求点 P到CD的最短距离. 问题解决: (3)如图3，有一块矩形ABCD型板材，AB=4米，AD=6米，由于工作需要，工人田战宾想在这块板材上找一点P，裁出△ABP 与△ADP，并满足cos∠APB=3/5，S△ADP:S△ABP=3∶2.请问田战宾的设想可以实现吗?如果可以，请帮他计算所裁得的△ABP的面积;如果不能，请说明你的理由.
2、【阅读】:在⊙O中，弦AB⊥弦CD于H点，则∠B+∠D=90°，则弧AD、弧BC的度数和为180°，所以得到则弧AD+弧BC+=则弧AC+弧BD，我们把这个现象叫做:垂直弦平分圆(把圆分成4份弧，其中两份拼成半圆)。 【理解】: 如图1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于H点，弧AC、弧BD弧长分别为2π、6π，则⊙O半径为 . 【拓展】: 如图2，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于H点，E为BD中点，若AC=HE=2，则⊙O半径为_ _. 【升华】: 如图3，在⊙O中，弦AB与弦CD交于H点，且∠AHD=60°，BC=2AD=4，求 ⊙O半径.
3．课本再现 （1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 ；
类比迁移 （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 ； 方法运用 （3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC． ①求证：∠ABC+∠ADC＝90°； ②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，AB/AC＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．
三、重视下列题型 （一）实际应用题 1、原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一.受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩。实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y(m)与水平距离(m)近似满足函数关系y= ax2+bx+c(a<0)，小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练. (1)第一次训练时,智能实心球回传的水平距离x(m)与竖直高度y(m)的几组对应数据如下:
则:①抛物线顶点的坐标是 ，顶点坐标的实际意义是 。 ②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩。 (2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系y=-0.09x2+072x+1.8则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高?为什么? (3)实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹.小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线y=ax2+bx+c(a<0)中c的值不变，要提高成绩应使a,b的值做怎样的调整？
（二）网格题
2、如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上。 （1）试在AC上找一点D，使得点D、A、B组成的三角形与△ABC相似。 （2）∠A+∠C多少度？并证明你的结论。
（三）作图题 1、（1）如图1，在△ABC中，点P在边AC上． ①AB＝2，AC＝4，∠ABP＝∠C，求AP长； ②AB＝m，AC＝n（n＞m）．当AP＝ 时，△APB∽△ABC； （2）如图2，已知△ABC（AB＜AC），请用直尺和圆规在直线AB上求作一点P，使AC是线段AB和AP的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）
2、如图，∠BAD的 AB 边上有一点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作圆，⊙O与 AD 边的另一交点为点 P,过点P作⊙O 的切线 PN，点 C 在射线 PN上. (1)仅用圆规，在 AD 边上求作一点 Q(不与 A、P 重合)，使 C、Q 所在直线与 AB 互相垂直(保留作图痕迹); (2)连接 CQ交AB 于点 H，AH=5，QH=1. ①若⊙O 的半径为 2，求 PC 长; ②当⊙O 的半径为多少时，OA·(PC+4OA) 取最大值?
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