【学习导引】本期课我们来学习二倍角与半角公式以及万能置换公式。
一、二倍角公式
从两角和的三角函数公式可以导出二倍角与半角的三角函数公式.当时，两角和的正弦、余弦和正切公式就成为二倍角的正弦、余弦和正切公式:
因为,所以二倍角的余弦公式还可以表示为
二、半角公式
在二倍角的余弦公式或中，如果将看作是角，那么倍角公式就可化为半角的正弦、余弦和正切公式:
上面三个公式中根号前的“±”号，由角的终边在直角坐标中的象限确定.
由于,
或
即半角的正切公式可表示为：
三、万能置换公式
因为：
.
即：
同理可得：
上述公式称为万能置换公式。
由万能公式可知,要求某个角的任一个三角函数值,只要求出该角的半角的正切值,就可求该角的任一个三角函数值.应用万能公式可以简化解题过程,但必须注意在它们都有意义的条件下才能进行.万能公式为三角函数与代数架起了一座桥梁,使三角函数问题与代数问题能相互转化,使我们又多了一种解题途径,使解题方法更加丰富多彩.
四、三倍角公式（拓展）
证明：
.
同法可证：.
【知识点1】二倍角公式
【例题1】求下列各式的值：
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
分析：前面3个化简只需熟记二倍角公式即可。对于第（4）个通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得式子出现连用二倍角的正弦公式的形式。此过程中还应看到化简以后得分子、分母中的角是互补（余）的关系，从而求得最终的结果。
详解:（1）
;
（2）
;
（3）
;
（4）
.
【例题2】当时，化简:
.
分析：化简三角函数时，若遇到的形式，则需利用二倍角的余弦公式将化为只含的三角函数的形式，涉及开方运算时，还要注意符号问题.
详解:∵,∴.
∴
.
【例题3】化简：,.
详解：∵，∴.
∴
.
①当，即时：
,
∴原式
.
②当，即时：
,
∴原式
.
【例题4】化简：.
分析:此题中有三次幂，想到使用降幂公式,进行化简.在三角函数式的化简中，对高次降幂是一种重要的手段，降幂之后，通常可以应用和、差角的公式。
详解：
.
【方法总结】1.当待化简的三角函数式是正弦或余弦的乘积（或可化为乘积）时,应观察分析这些函数的角之间是否具有倍角关系（或可转化为倍角关系）.若有倍角关系,其化简的途径有二:
①利用变形公式化为积商的形式,看是否能相互约分,从而达到化简的目的;
②连环滚动逆用二倍角的正弦公式，此时需要分子、分母同乘以一个“启动式”,如（4）中的.
2.的正用和逆用在三角函数中有广泛的应用,应注意掌握.其中，“正用”具有降幂功能,“逆用”具有升幂功能,特别适用于带有根式的三角函数式的化简或因式分解，如【例题2】和【例题3】.
【知识点2】半角公式
【例题4】,，求.
详解:∵,
∴.
∴,
.
∵,∴.
∴;
;
.
【例题5】化简：.
分析：用正切的半角公式,这样可以避免“±”号的讨论.
详解:∵
.
而
.
∴原式
.
【例题6】在中，,求的值.
分析：由同角三角函数的平方关系，由，求出，解得和，由半角公式求解.
详解：∵,两边平方得：
,
∴,
在中,,
∴.
∵
.
∴.
根据
解得：.
∴.
【知识点3】万能置换公式
【例题7】已知,
求:.
详解:由于：,
对上式进行因式分解可得：
.
∵,
∴,即.
∴.
由万能置换公式可得：
;
;
.
∴
.
