齐次化解决 定值定点问题例题研究

上一篇已经介绍圆锥曲线定点定值的一种特殊的解法，齐次化结构，通过 斜率之和之积表达式，将直线方程以及二次曲线方程转化成对应形式的机构，在通过将方程进行齐次化转化，转化成关于斜率的一元二次方程，在通过韦达定理，求出对应直线中m,n的关系，从而将直线转化成含有一个字母的解析式，从而求出直线过定点。反过来，如果一直直线过定点（或直线斜率为定值），也可以利用此种方法求出对应的斜率之和之积文定值问题。在一些题目中，对于一些写了写之和之积，可能题目中不能直接看到，或者是隐含在一些结论里面。特别是关于椭圆，以及双曲线的第三定义问题。本章节内容举出几道关于高考中一些可以用齐次化转化的经典题型，以便更好的了解应用齐次化结构。

（2018年全国Ⅰ卷）

（2020年新高考Ⅰ卷）

方法二：齐次化思想

此题已可以采用向量思想去做。

亦可以看出来 ，对于齐次化解决此类问题还是比较简单的，并且按照不步骤去处理的话，相对来说比常规方法简单一些，计算也是少一些。

例题三

常规方法一：

方法二： 齐次化思想处理

可以看出 本题采用常规方法去处理的话 计算量太大，如果采用齐次化结构去处理的话，相对来说 计算量小很多，而且相对来说比较简单，但是此题题目中没有直接的斜率关系，但是本题隐含了一些斜率关系，即用双曲线的第三定义（周角定理）可以很快的找到斜率之积文定值。

在2020年全国一卷中，同样的定点问题，可以采用齐次化，2020年高考题目解决方式与本题解决方式一样，均可以采用了第三定义+齐次化思想（椭圆的第三定义或者周角定理）。有兴趣的可以可以试一下