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练习题 练习 517: 求微分方程的通解. 【注1】本次练习内容由咱号根据热心学友分享整理！练习先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！更多综合、提高典题型及详细参考解答（多解）查阅推文： 高等数学、数学分析综合提高练习册：竞赛、考研、课程学习，有这一套就够了！ 练习参考解答 【参考解答】:【法1】特征方程法与基于解的结构性质. 微分方程对应的齐次方程为 其对应的特征方程为，故特征根为，所以齐次线性微分方程的通解为 原方程的自由项为，其中，其中不是特征根，故可设特解为 则, 代入原方程得 对比两端的系数，得，所以特解为 故原方程的通解为 【法2】刘维尔公式与常数变易法. 微分方程对应的齐次方程为 考察方程的结构易得是它的一个特解，故由刘维尔公式 故微分方程的通解为 由此可知也是齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，故 令 是题中非齐次线性微分方程的解，解方程组 解得 积分可得其中各一个原函数为 代入所设特解表达式，并整理得原方程的通解为 【注】求的时候可以不带任意常数，这样代入所设特解得到的仅仅是一个特解，然后由解的结构性质，齐次线性微分方程两个线性无关的特解以两个任意常数为系数的线性组合为其通解，齐次的通解加上非齐次的一个特解得到非齐次的通解可以直接写出原方程的通解. 【法3】换元降阶法. 令和 则得 解方程组，得 取，则. 故方程改写为 该方程为一阶线性微分方程，由通解计算公式，得 由于，故得 再次由一阶线性微分方程通解计算公式，得 【法4】 凑微分法. 改写微分方程为 由导数的乘法法则，该式等价于 两端积分得 即得一阶线性微分方程 利用一阶线性微分方程通解计算公式，得 其中 . 【说明】【法1】适用于常系数的，自由项，也就是线性微分方程标准结构表达式的右边项可以改写为符合一下结构的表达式 非齐次线性微分方程.【法2】既适用于【法1】的类型，也适用于变系数的二阶微分方程，尤其是自由项不符合以上结构的时候，对于非齐次线性微分方程特解的计算一般考虑常数变易法来计算【【法3】既适用于【法1】的类型，也适用于自由项不符合【法1】结构的类型，这些方法都适用于对应类型的齐次线性微分方程. 另外，有些二阶常系数的齐次线性微分方程也属于特殊的二阶可降阶的微分方程，故也可以尝试使用降阶法直接来求通解. 相关知识点参考如下推文列出的微分方程内容： |
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