二次根式双重非负性的运用

二次根式双重非负性的运用

湖北省黄石市下陆中学　陈　勇

在实数范围内，我们知道式子表示非负数ａ的算术平方根，它具有双重非负性：（１）；（２）ａ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非负数的性质“若几个非负数的和等于０，则这几个非负数都等于０”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．

 

例１　已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．

 

分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，则每个非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．

 

例２　若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．

 

分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得

，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．

 

例３　已知实ａ满足，求ａ-2010的值．

 

解：由ａ-20110，得ａ2011。故已知式可化为ａ-2010+=ａ，

∴=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．

 

例４　在实数范围内，求代数式的值．

 

解：考虑被开方数，得从而，又，故＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．

 

例５　设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．

 

解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝＝.

2011-07-08  人教网