简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

简单的逻辑联结词

且---或

教学目标

知识与技能目标：掌握逻辑联结词“或、且”的含义；正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题；掌握真值表并会应用真值表解决问题

过程与方法目标：在观察和思考中，注重学生思维的严密性品质的培养．

情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。

教学难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”. 

课时安排：1

授课类型：新授课

教具准备：优化。

教学过程

一、引入

在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。

为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）

二、讲授新课

问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？

（1）①12能被3整除；

②12能被4整除；

③12能被3整除且能被4整除。

（2）①27是7的倍数；

②27是9的倍数；

③27是7的倍数或是9的倍数。

学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。

问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？

例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。

命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。

1．归纳定义

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，

记作：p∧q      读作“p且q”。

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。

（用集合理解定义）练习：命题“p∧q”与命题“p∨q”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？

（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。

（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。

“且”即“交”  同时；“或”即“并”；逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.

说明：符号“∧”与“∩”，符号“∨”与“∪”。

2、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的确定

你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命题p，q的真假之间有什么联系？

引导学生分析前面所举例子，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。

p	q	p∧q
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	假

p	q	p∨q
真	真	真
真	假	真
假	真	真
假	假	假

（即一假则假）                             （即一真则真）

一般地，我们规定： 

 当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。

三、例题分析：

例1 将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。

（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。

（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；

（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.

解：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成

平行四边形的对角线互相平分且相等.

p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成

平行四边形的对角线互相平分或相等.

由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．

（2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成

菱形的对角线互相垂直且平分.

p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成

菱形的对角线互相垂直或平分.

由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．

（3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成

35是15的倍数且是7的倍数.

p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成

35是15的倍数或是7的倍数.

由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．

说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．

例2：判断下列命题的真假；

（1）2≤2；

（2）6是自然数且是偶数

（3）?是A的子集且是A的真子集；

（4）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；

（5）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．选择适当的逻辑联结词

四．巩固练习  ：Ｐ182０  练习第1 、 2题

五、总结：1。逻辑联结词“或、且”的含义；

2．真值表并会应用真值表解决问题

p	q	P∧q	P∨q
真	真	真	真
真	假	假	真
假	真	假	真
假	假	假	假

六、作业：目标Ｐ10 

板书设计：    1.3.1且 1.3.2或

  定义：

  真值表

教学反思

非

一、学习内容：

   1、了解连接词“非”的含义；

   2、会用连接词“非”连结两个命题或改写某些数学命题并判断新命题的真假。

   3、通过教学实例，了解逻辑连结词“且”，“或”，“非”的含义，能正确地表述相关数学内容。

二、学习要点：

   1、重点：通过教学实例，了解逻辑连结词“且”，“或”，“非”的含义，能正确地表述相关数学内容；

   2、难点：判断用逻辑连结词“且”“或”“非”连结后得到的新命题的真假.

三、学习过程：   

 （一）、复习引入：     

       分别指出下列命题的形式并判断真假：

       (1)7≤8;   

       (2) 集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;

       (3) 2是偶数且2是质数

 （二）新课讲授： 

   1、思考：下面三个命题间有什么关系？

        思考：下面两个命题间有什么关系？

             （1）、35能被5整除；

             （2）、35不能被5整除。

                                                                            

        总结：若p是真命题，则      必是假命题；若p是假命题，则     p必是

              真命题。                  

        练习：写出下表中各给定语的否定语

     

  2、例题解析：      

      例4、写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

        （1）p:y=sinx 是周期函数；

                                                                         

        （2）p:3 < 2

                                                                         

         (3)  p:空集是集合A的子集

                                                                         

    总结：

        

3、知识巩固  

1）、命题“方程的解是”中，使用逻辑词的情况是（   ）

  A.没有使用逻辑联结词            B.使用了逻辑联结词“或”

  C. 使用了逻辑联结词“且”       D. 使用了逻辑联结词“或”与“且”  

2）、命题p：“不等式的解集为”；命题q：“不等式＞4的

      解集为”，则（      ）

 A．p真q假    B．p假q真     C．命题“p且q”为真    D．命题“p或q”为假 

3）、在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题p：“第一次射击中靶”，

     命题q：“第二次射击中靶”，试用，p、q及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下

     列命题：

  （1）两次射击均中靶；　　　    　                         

  （2）两次射击至少有一次中靶.                              

4）、设命题p:实数x满足,命题q：实数x满足,若p且

      q为真，则实数 x的取值范围为                  . 

  5）、设p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或

     q为真,p且q为假,求m的取值范围.

 6)、指出下列复合命题是真命题还是假命题，并说明其形式及构成它的简单命题：

（1）命题“不等式没有实数解”；　    （2）命题“－1是偶数或奇数”；

（3）命题“既属于集合，也属于集合”； （4）命题“”

   总结：判断复合命题真假的步骤：

   ⑴把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；

   ⑵判断简单命题的真假；

   ⑶利用真值表判断复合命题的真假。

   

四、 课堂小结：

五、作业布置：  课本 P18   习题1.3  第 3 题

六、课下预习：  1.4.1    全称量词

        非

教学目标

知识与技能目标：掌握逻辑联结词“非”的含义 ；正确应用逻辑联结词“非”解决问题；掌握真值表并会应用真值表解决问题

过程与方法目标：观察和思考中，在解题，注重学生思维能力中严密性品质的培养．

情感态度价值目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.

教学难点：1、正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题 “￢P”.

课时安排：1

授课类型：新授课

教具准备：优化。

教学过程

一、讲评作业

二、新课讲授

1．问题引入：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？

（1） ①35能被5整除；             ②35不能被5整除；

（2） ①方程x2+x+1=0有实数根。     ②方程x2+x+1=0无实数根。

学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。

2．归纳定义

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作：￢p。

读作“非p”或“p的否定”。

3．命题“￢p”与命题p的真假间的关系

命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？

引导学生分析前面所举例子，概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。

若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；（还可用集合“补“理解）

p	￢P
真	假
假	真

4、命题的否定与否命题的区别

命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。

举例：如果命题p:5是15的约数，那么

￢p：5不是15的约数；

p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。

显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。

三.例题分析

　例1  写出下表中各给定语的否定语。

若给定语为	等于	大于	是	都是	至多有一个	至少有一个
其否定语分别为

分析：“等于”的否定语是“不等于”；
　　　     “大于”的否定语是“小于或者等于”；
　　　     “是”的否定语是“不是”；
　　　     “都是”的否定语是“不都是”；
　　　     “至多有一个”的否定语是“至少有两个”；
　　　     “至少有一个”的否定语是“一个都没有”；
例2  写出下列命题的否定，判断下列命题的真假

（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；

（2）p：3＜2；

（3）p：空集是集合A的子集。

解略.（1）（3）假；（2）真

例3  写出下列命题的否定和否命题，判断命题的真假（目标17页）

 （1）若＜1，则方程有实根；

（2）若，则全为零；

（3）若，则或；

（4）若一个数是质数，则这个数是奇数。

  解略.（1）假假；（2）（3）假真；（4）真假

四.巩固练习：P18  练习第3题   习题  第3题

五、总结：1。理解命题 “￢P”真假的规定和判定．

2．简洁、准确地表述命题 “￢P”.

六、作业：目标Ｐ12_13 

板书设计：    1.3.3非

  定义：

  真值表

教学反思： 

简单的逻辑联结词

学习要求：通过教学实例，复习逻辑联结词“且”、“或”的含义，学习“非”的含义，能正确地表述相关数学内容.

学习重点：正确理解逻辑联结词 “非”的含义，并能正确表述这 “”这些新命题.并判断它们的真假性

学习难点：简洁、准确地表述新命题 “”，并判断其真假性，注意非命题与否命题的区别和联系

学习过程：

一、复习准备：

1. 分别用“”、“”填空，并判断其真假性

（1）命题“6是自然数且是偶数”是　　　　　的形式；

（2）命题“3大于或等于2”是　　　　　的形式；

（3）命题“正数或0的平方根是实数”是　　　　　　的形式.

 2. 下列两个命题间有什么关系？

（1）7是35的约数；（2）7不是35的约数.

（1）35能被5整除；（2）35不能被5整除

发现：（2）是对（1）的否定

二、讲授新课：

1. 教学命题：

①一般地，对一个命题                 ，就得到一个新命题，记作，读作“非”或“的否定.

②的真假性：

那么思考中（1）是真命题，（2）是假命题。也就是说是p的否定，所以p与不能同为真假，

也就是说：若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题.

2补充：非命题（命题的否定）与否命题的区别：

（1）                ，得到一个新命题，记作，这里是指对命题       的否定。

而对于我们以前学过的否命题，是指                                否定。

（2）由真假性也可以看出，否命题与原命题的真假性是              ；

p与                                  。

例如：p：同位角相等，两直线平行。写出其与否命题。

3.例1：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

（1）：y＝sinx是周期函数；

（2）：；

（3）：空集是集合的子集；

练习教材P20页　　练习第3题

三. 小结：

1、逻辑联结词的理解及“”、“”、“”这些新命题的正确表述和应用.

2、如何判断其真假性。

四 巩固练习：

练习：分别指出由下列各组命题构成的“”、“”、“”形式的复合命题的真假：

（1）：9是质数，：8是12的约数；

（2）：是无理数，：是实数

（3）：，：；

（4）：平行线不相交.

五. 作业：教材P20页　　习题1.3  A组 第1、2、3题

板书：

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

题组一	含逻辑联结词的命题的真假判断

1.设p、q是简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的                (　　)

A.必要不充分条件           B.充分不必要条件

C.充要条件                 D.既不充分也不必要条件

解析：p且q为假，即p和q中至少有一个为假；p或q为假，即p和q都为假.

答案：A

2.下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是(　　)

A.p：0＝?；q：0∈?

B.p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sinx在第一象限是增函数

C.p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|＞x的解集是(－∞，0)

D.p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：?x∈{1，－1,0},2x＋1＞0

解析：若要满足“‘p或q’为真，‘p且q’为假、‘非p’为真”，则p为假命题，q为真命题.A中p为假命题，q为假命题；B中p为真命题，q为假命题；C中p为假命题，q为真命题；D中p为真命题，q为假命题.

答案：C

3.命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}?{1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假.其中判断正确的序号是　　　　.(填上你认为正确的所有序号)

解析：p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}?{1,2,3}，p假q真，故①④⑤⑥正确.

答案：①④⑤⑥

题组二	全(特)称命题及其真假判断

4.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋x(a)(a∈R)，则下列结论正确的是           (　　)

A.?a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函数

B.?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数

C.?a∈R，f(x)是偶函数

D.?a∈R，f(x)是奇函数

解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋x(16)，f′(x)＝2x－x2(16)，

令f′(x)＞0得x＞2.

∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A、B错.

当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确.

D显然错误.

答案：C

5.(2009·宁夏、海南高考)有四个关于三角函数的命题：                      (　　)

p1：?x∈R，sin22(x)＋cos22(x)＝2(1)

p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny

p3：?x∈[0，π]， 2(1－cos2x)＝sinx

p4：sinx＝cosy?x＋y＝2(π)

其中的假命题是                                                      (　　)

A.p1，p4        B.p2，p4        C.p1，p3           D.p2，p3

解析：sin22(x)＋cos22(x)＝1恒成立，p1错；

当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，p2对；

∵2(1－cos2x)＝sin2x，当x∈[0，π]，sinx≥0，

∴  2(1－cos2x)＝sinx，p3对；当x＝3(2)π，y＝6(π)时，

sinx＝cosy成立，但x＋y≠2(π)，p4错.

答案：A

6.下列命题中真命题的个数是                                            (　　)

①?x∈R，x4＞x2

②若p∧q是假命题，则p、q都是假命题

③命题“?x∈R，x3＋2x2＋4≤0”的否定为“?x0∈R，x0(3)＋2x0(2)＋4＞0”

A.0            B.1             C.2                  D.3

解析：只有③是正确的.

答案：B

题组三	含有一个量词的命题的否定

7.(2009·天津高考)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是                       (　　)

A.不存在x0∈R,2x0>0              B.存在x0∈R,2x0≥0

C.对任意的x∈R,2x≤0             D.对任意的x∈R,2x>0

解析：原命题的否定可写为：“不存在x0∈R,2x0≤0”.其等价命题是：“对任意的x∈R,2x>0”.

答案：D

8.命题：“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是                         (　　)

A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0

B.存在x0∈R，x0(3)－x0(2)＋1≤0

C.存在x0∈R，x0(3)－x0(2)＋1＞0

D.对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0

解析：“对任意x∈R，x3－x2＋1≤0”等价于关于x的不等式：x3－x2＋1≤0恒成立，其否定为：x3－x2＋1≤0不恒成立，即存在x0∈R，使得x0(3)－x0(2)＋1＞0成立，故选C.

答案：C

9.已知命题p：?x∈R，x2－x＋4(1)＜0；命题q：?x∈R，sinx＋cosx＝.则下列判断正确的是                                                              (　　)

A.p是真命题                     B.q是假命题

C.  p是假命题                   D.  q是假命题

解析：?x∈R，x2－x＋4(1)＝(x－2(1))2≥0，

∴p为假命题；

sinx＋cosx＝sin(x＋4(π))知q为真命题.

答案：D

题组四

求参数的取值范围

10.已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为                       (　　)

A.a≤－2或a＝1                   B.a≤－2或1≤a≤2

C.a≥1                             D.－2≤a≤1

解析：由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2，或a＝1.

答案：A

11.(2010·苏北三市联考)若命题“?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　.

解析：∵?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0是真命题

∴(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，

∴a－1＞2或a－1＜－2，

∴a＞3或a＜－1.

答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

12.已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当x∈[2(1)，2]时，函数f(x)＝x＋x(1)＞c(1)恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.

解：由命题p知：0＜c＜1.

由命题q知：2≤x＋x(1)≤2(5)，

要使此式恒成立，则2＞c(1)，即c＞2(1).

又由p或q为真，p且q为假知，

p、q必有一真一假，

当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤2(1).

当p为假，q为真时，c≥1.

综上，c的取值范围为{c|0＜c≤2(1)或c≥1}.
 

简单的逻辑联结词（或且非）教案（ 12 ）
主备人	胡广宏	授课人		授课日期
课题	S11-1.2简单的逻辑联结词（一）或且非			课型	新授
教学目标：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解复合命题的结构. 教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。 教学难点：对“或”的含义的理解； 教学手段：多媒体
教学过程							备课札记
一、创设情境 前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。 问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式 ①11>5        ②3是15的约数吗？     ③0.7是整数   ④x>8  二、活动尝试 ①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为③是3是15的约数，则为真； ③是假命题   ④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。改为x2≥0，则为真； 例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。 三、师生探究 问题2：（1）6可以被2或3整除；  （2）6是2的倍数且6是3的倍数；         （3）不是有理数； 上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。 命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同. 命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同. 命题（3）中的“非”显然是否定的意思，即“不是有理数”是对命题是有理数”进行否定而得出的新命题. 四、数学理论 1. 逻辑连接词 命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词 2. 复合命题的构成 简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题 3.复合命题构成形式的表示 常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.  复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p.  即：p或q   记作 púq     p且q    记作 pùq   非p    (命题的否定)   记作 ?p 释义：“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如，“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xA∪B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真. “p且q”是指p,q中的两者.例如，“xA且xB”，是指x属于A，同时x也属于B（即xAB）. “非p”是指p的否定，即不是p.  例如，p是“xA”，则“非p”表示x不是集合A的元素（即x）. 五、巩固运用 例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题： （1）24既是8的倍数，也是6的倍数； （2）李强是篮球运动员或跳高运动员； （3）平行线不相交 解：（1）中的命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数. （2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员. （3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。 例2: 分别指出下列复合命题的形式 （1）8≥7 （2）2是偶数且2是质数； （3）不是整数； 解：（1）是“”形式，：，：8=7； （2）是“”形式，：2是偶数，：2是质数； （3）是“”形式，：是整数； 例3：写出下列命题的非命题： （1）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0； （2）q：存在一个实数x，使得x2－9=0 （3）“AB∥CD”且“AB=CD”； （4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”． 解：（1）存在一个实数x，使得x2－2x+1＜0；  （2）不存在一个实数x，使得x2－9=0；  （3）AB不平行于CD或AB≠CD； （4）原命题是“p或q”形式的复合命题，它的否定形式是：△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形． 复合命题的构成要注意：（1）“p或q”、“p且q”的两种复合命题中的p和q可以是毫无关系的两个简单命题                      （2）“非p”这种复合命题又叫命题的否定；是对原命题的关键词进行否定；    下面给出一些关键词的否定： 正面 语词 或 等于 大于 小于 是 都是 至少一个 至多 一个 否定 且 不等于 不大于 （小于等于） 不小于 （大于等于） 不是 不都是 一个也 没有 至少 两个 六、回顾反思 本节课讨论了简单命题与复合命题的构成，以及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。需要注意的是否命题的关键词的否定是问题的核心。 七、课后练习 1．命题“方程x2＝2的解是x＝±是(    ) A．简单命题 B．含“或”的复合命题 C．含“且”的复合命题 D．含“非”的复合命题 2．用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题： （1）x∈A∪B，则x∈A__________x∈B； （2）x∈A∩B，则x∈A__________x∈B； （3）a、b∈R，a＞0__________b＞0，则ab＞0． 3．把下列写法改写成复合命题“p或q”“p且q”或“非p”的形式： （1）（a－2）（a+2）=0； （2）； （3）a＞b≥0． 4．已知命题p：a∈A，q：a∈B，试写出命题“p或q”“p且q”“┐p”的形式． 5．用否定形式填空： (1)a＞0或b≤0；                   (2)三条直线两两相交 (3)A是B的子集.___________________ (4)a，b都是正数.___________ (5)x是自然数.___________________(在Z内考虑) 6．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p１是“第一次射击中飞机”，命题p２是“第二次射击中飞机”试用p１、p２以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，┐)表示下列命题： 命题S：两次都击中飞机； 命题r：两次都没击中飞机； 命题t：恰有一次击中了飞机；  命题u：至少有一次击中了飞机. 八、参考答案： 1．B 2．（1）或　（2）且　（3）且 3．（1）p：a－2=0或q：a+2=0；   （2）p：x=1且q: y=2   （3）p：a＞b且q：b≥0 4．命题“p或q”：a∈A或a∈B．“p且q”：a∈A且a∈B．“┐p”：aA 5．(1)a≤0且b＞0 (2)三条直线中至少有两条不相交 (3)A不是B的子集 (4)a，b不都是正数 (5)x是负整数． 6．（1） （2）（3）（4）
简单的逻辑联结词（复合命题）教案
主备人	胡广宏	授课人		授课日期
课题	S11-1.2简单的逻辑联结词（二）复合命题			课型	新授
教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假； 教学重点：判断复合命题真假的方法； 教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法 课    型：新授课 教学手段：多媒体
教学过程						备课札记
一、创设情境 1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题） 2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词） 3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题） 4．复合命题的构成形式是什么？ p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” ) 二、活动尝试 问题1: 判断下列复合命题的真假 （1）8≥7 （2）2是偶数且2是质数； （3）不是整数； 解：（1）真；（2）真；（3）真； 命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？ 三、师生探究 1．“非p”形式的复合命题真假： 例1：写出下列命题的非，并判断真假： （1）p：方程x2+1=0有实数根 （2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0． （3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0； （4）p：等腰三角形两底角相等 显然，当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真． 2．“p且q”形式的复合命题真假： 例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形； （2）5是10的约数且是15的约数 （3）5是10的约数且是8的约数 （4）x2-5x=0的根是自然数 所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。 3．“p或q”形式的复合命题真假： 例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数； （2）5是12的约数或是8的约数； （3）5是12的约数或是15的约数； （4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零 当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。 四、数学理论 1．“非p”形式的复合命题真假： 当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真． p 非p 真 假 假 真 （真假相反） 2．“p且q”形式的复合命题真假： 当p、q为真时，p且q为真；   当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。 p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 （一假必假） 3．“p或q”形式的复合命题真假： 当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。 p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 （一真必真）  注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表； 2°由真值表得： “非p”形式复合命题的真假与p的真假相反； “p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假； “p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的 复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。如：p表示“圆周率π是无理数”，q表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p或q 的真假。 4°介绍“或门电路”“与门电路”。 或门电路（或）         与门电路（且） 五、巩固运用 例4：判断下列命题的真假： （1）4≥3           （2）4≥4        （3）4≥5 （4）对一切实数 分析：（4）为例： 第一步：把命题写成“对一切实数或”是p或q形式 第二步：其中p是“对一切实数”为真命题；q是“对一切实数”是假命题。 第三步：因为p真q假， 由真值表得：“对一切实数”是真命题。 例5：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假： （1）p：2+2=5； q：3>2 （2）p：9是质数； q：8是12的约数； （3）p：1∈{1，2}； q：{1}{1，2} （4）p：{0}； q：{0} 解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+25. ∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真. ②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数. ∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真. ③p或q：1∈{1，2}或{1}{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}{1，2}；非p：1{1，2}. ∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假. ④p或q：φ{0}或φ={0}；p且q：φ{0}且φ={0} ；非p：φ{0}. ∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假. 七、课后练习 1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（   ） A．简单命题     B．非p形式的命题    C．p或q形式的命题    D．p且q的命题 2．如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（    ） A．“p且q”是假命题   B．“p或q”是真命题 C．“非p”是真命题   D．“非q”是真命题 3．（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_________。   （2）如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_________。 4．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假. (1)5和7是30的约数. (2)菱形的对角线互相垂直平分. (3)8x－5＜2无自然数解. 5．判断下列命题真假： （1）10≤8；                      （2）π为无理数且为实数； （3）2+2=5或3＞2．               （4）若A∩B=，则A=或B=． 6．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。 八、参考答案： 1．D   2．D      3．（1）真；（2）假 4．(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题． (2) “p且q”．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题． (3)是“┐p”的形式.其中p：8x－5＜2有自然数解.∵p：8x－5＜2有自然数解．如x＝0，则为真命题．故“┐p”为假命题． 5．（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）真命题． 6．由p命题可解得m＞2，由q命题可解得1＜m＜3； 由命题p或q为真，p且q为假，所以命题p或q中有一个是真，另一个是假 （1）若命题p真而q为假则有 （2）若命题p真而q为假，则有 所以m≥3或1＜m≤2

全称量词与存在量词（一）量词

教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。

教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；

教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；

课    型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。

问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词

①一    纸；②一   牛；③一   狗；④一   马；⑤一   人家；⑥一   小船

①张②头③条④匹⑤户⑥叶

什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。

二、活动尝试

所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。

问题2：下列命题中含有哪些量词？

（1）对所有的实数x，都有x2≥0；

（2）存在实数x，满足x2≥0；

（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；

（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；

（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；

（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n；

上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

三、师生探究

命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。 

全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。”

存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”

含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 

单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。

全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”

特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。

问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？ 

（1）方程2x=5只有一解；

（2）凡是质数都是奇数；

（3）方程2x2＋1=0有实数根；

（4）没有一个无理数不是实数；

（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；

（6）集合A∩B是集合A的子集；

分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；

四、数学理论

1．开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.

2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：

 (1) 全称量词 

日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作、等，表示个体域里的所有个体。

 (2) 存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作，等，表示个体域里有的个体。

3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。 

全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。

五、巩固运用

例1判断以下命题的真假：

（1）  （2）   （3）  （4）

分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；

例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：

第一步：设a=b，则有a2=ab 

第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2

第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 

第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b

第五步：由a=b代人得，2b=b

第六步：两边都除以b得，2=1

分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b

      第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。

心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。

同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。

例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。

（1）中国的所有江河都注入太平洋；

（2）0不能作除数；

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

（4）每一个向量都有方向；

分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；

（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；

（3）全称命题， x∈R，；

（4）全称命题，，有方向；

六、回顾反思

要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。

要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。

即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。

七、课后练习

1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（   ）

A．所有奇数都是质数                   B．

C．对每个无理数x，则x2也是无理数     D．每个函数都有反函数

2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（    ）

A．，都有         B．，都有

C．，都有      D．，都有

3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是

A．          B．

C．        D．

4．下列命题中的假命题是（      ）

A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ

5．对于下列语句

（1）         （2）   

（3）  （4）

其中正确的命题序号是             。（全部填上）

6．命题是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

参考答案：

1．B

2．A

3．D

4．B

5．（2）（3）

6．不是全称命题，补充条件：（答案不惟一）

当时, ，

全称量词与存在量词（二）量词否定

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.

教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

课    型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形； 

（2）每一个素数都是奇数；

（3）"x?R，x2-2x+1≥0

分析：（1）"，否定：存在一个矩形不是平行四边形；

（2），否定：存在一个素数不是奇数；

（3），否定：$x?R，x2-2x+1<0；

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.

三、师生探究$

问题2：写出命题的否定

（1）p：$ x∈R，x2＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1）" x?R，x2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：,

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P：" x?M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：$x?M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：" x?M,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:"?M, p(x）否定为? P: $?M, ? P（x）

P:$?M, p(x）否定为? P: "?M, ? P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语	是	一定是	都是	大于	小于	且
词语的否定	不是	一定不是	不都是	小于或等于	大于或等于	或
词语	必有一个	至少有n个	至多有一个	所有x成立	所有x不成立
词语的否定	一个也没有	至多有n-1个	至少有两个	存在一个x不成立	存在有一个成立

五、巩固运用

例1  写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；

（2）p："x?R，x2＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

（4）p：$ x∈R，x2－x+1＝0；

分析：（1）? P：有的人不晨练；（2）$ x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）"x?R，x2－x+1≠0；

例2 写出下列命题的否定。

（1） 所有自然数的平方是正数。 

（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 

（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. 

（4） 有些质数是奇数。 

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。 

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 

例3 写出下列命题的否定。 

（1） 若x2＞4 则x＞2.。 

（2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。 

（3） 可以被5整除的整数，末位是0。 

（4） 被8整除的数能被4整除。 

（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 
解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）

（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。　

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1）? P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题

　　    否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2）? P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题

　　    否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

　 （3）? P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。　　 

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4）? P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

　　 否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则?q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

六、回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

七、课后练习

1．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（      ）

A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；

B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（    ）

A．大前提错误    B．小前提错误      C．推理形式错误   D．非以上错误

3．命题“"x?R，x2-x+3>0”的否定是                      

4．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是                                      

否命题是                                        

5．写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p："m∈R，方程x2+x-m=0必有实根； 

（2）q：$?R，使得x2+x+1≤0； 

6．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．

八、参考答案：

1． B

2．C

3．$ x?R，x2-x+3≤0

4．否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除

   否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除

5．（1）?p：$m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题。

（2）?q："?R，使得x2+x+1>0；真命题。

6． ⑴  若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，(真)；

⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；

⑶若是锐角三角形， 则的任何一个内角不都是锐角(假)；

⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；

⑸若(x-1)(x-2)=0，则 或，(真)．

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.简单的逻辑联结词

常用的逻辑联结词为：或、且、非.不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.

2.常见词语的否定

正面词语	等于	大于	小于	是	都是	任意的	或	至多有一个	至少有一个	至多有个
否定词语	不等于	不大于	不小于	不是	不都是	某个	且	至少有两个	一个也没有	至少有个

3．全称量词与存在量词

　　（1）全称量词：短语“对所有的”、“对任意一个”、“都是”、“都有”、“任何的”、“都不是”在逻辑中通常称为全称量词，用符号“”表示；

　　（2）存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”、“不都是”、“不都有”、“存在”、“至少”在逻辑中通常称为存在量词，用符号表示；

（３）全称命题与存在命题

这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示.含有全体量词的命题，叫做全称命题.

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题.

典例剖析

【题型1】 全称命题与特称命题的真假判定

【例１】  写出下列命题的否定，并判断其真假.

（1），；  （2）若，则；

（3），；      （4）至少有一实数，使得；

【解析】（1），；

由知对都成立，所以原命题为真，故其否命题为假.

（2）存在实数，满足，但；（假命题）

（3），； 由知对都成立，所以其否命题为真.

（4），.由于，，所以其否命题为假.

【点评】全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题；所以其真假有时可通过另一面来判断，并且可以通过列举反例来否定一个全称命题.

【练习】

1. (2007山东理)命题“对任意的，”的否定是（ Ｃ ）

A.不存在   B.存在

C.存在     D. 对任意的

2.写出下列命题的否定形式

（1）若，则、全为零；（2）5既是奇数又是偶数；

　【答案】（1）若   ，则、不全为零

（2）5不是奇数或5不是偶数

【题型2】 逻辑联结词“或”、“且”、“非”

【例2】  写出由下述各命题构成的“或”，“ 且”，“ 非”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假.

（1）：9是144的约数，：9是225的约数。

（2）：方程x2－1=0的解是x=1，：方程x2－1=0的解是x=－1.

【解析】（1）或：9是144或225的约数；

且：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；

非：9不是144的约数.

∵真，真，∴“或”为真，“且” 为真，而“非”为假.

（2）或：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；

且：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；

非：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题中的“是”应理解为“都是”的意思）；

∵假，假，∴“或”与，“且” 均为假，而“非”为真.

【点评】在命题或命题的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整.

     

【练习】

3.（2008广东卷）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ Ｄ ）

A． B．  C． D．

4. 如果命题“或”是真命题，命题“且”是假命题，则下列正确的说法是（ Ｄ ）A. 命题和都是假命题；     B. 命题和都是真命题

C. 命题与真值不同；     D. 命题与命题真值相同

【题型3】逻辑知识的综合应用

【例3】已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围．

【解析】由命题可以得到：    ∴

由命题可以得到： ∴

∵或为真，且为假   ∴有且仅有一个为真，

当为真，为假时，，

当为假，为真时，，

所以，的取值范围为或．

【练习】

５.已知命题：方程在[－1，1]上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数的取值范围．

【解析】由，

显然, ，∴.   

“只有一个实数满足”. 即抛物线与轴只有一个交点，，∴.  ∴命题“或为真命题”时“”，

∵命题“或”为假命题     ∴的取值范围为

单元测验二

一、选择题

1.（2009天津文）设，则“”是“”的.       （  A  ）

A  充分不必要条件  B 必要不充分条件  C充要条件    D既不充分也不必要条件

2. (2008湖南理) “成立”是“成立”的      （ B  ）

A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C．充分必要条件             D.既不充分也不必要条件

3.（2007重庆理）命题“若，则”的逆否命题是（  D  ）

A．若，则或   B.若，则

C.若或，则   D.若或，则

4.（2007江西理）设：在内单调递增，：，则是的     (  B  )

   A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件

   C．充分必要条件                   D．既不充分也不必要条件          

5.原命题：“设，若，则”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（　C　）个.

　　A. 0　　         　B. 1　　    　C. 2　       　　D. 4

6.（2007湖北文）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件. 现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ B ）

A.①④⑤        B.①②④       C.②③⑤      D. ②④⑤                

7.用反证法证明命题“、，可被5整除，那么、中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是  (  B   )

A. 、都能被5整除          B. 、都不能被5整除

C. 不能被5整除              D. 、有一个不能被5整除

8.（佛山市2008年高三教学质量检测一）“” 是“函数在区间上为增函数”的（ A  ）.

A．充分条件不必要               B．必要不充分条件

C．充要条件                     D．既不充分也不必要条件

9. (2007海南、宁夏文、理)已知命题，，则（　C 　）

Ａ．， Ｂ．，

Ｃ．， Ｄ．，

10. (2008湖北文)若集合，，则（  A  ）m

A. “”是“”的充分条件但不是必要条件

B. “”是“”的必要条件但不是充分条件m

C. “”是“”的充要条件

D. “”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件

二、填空题

11．命题：“若不为零，则、都不为零”的逆否命题是              

【答案】 若、至少有一个为零，则为零

12. 已知命题：，则:.

13.（2005江苏）命题“若，则”的否命题为.

14.（2001江西、山西、天津文、理）在空间中，

      ①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．

      ②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．

 以上两个命题中，逆命题为真命题的是  ②   ．（把符合要求的命题序号都填上）

三、解答题

15. 写出下列命题的否定与否命题，并判断其真假.

(1)等腰三角形有两个内角相等．

(2)可以被5整除的整数，末位是0．

(3)若xy=0，则x=0或y=0．

【解析】（1）命题的否定：存在一个等腰三角形，没有两个内角相等．（ 假）

否命题：若三角形不是等腰三角形，则它的任意两个内角都不相等．（ 真）

（2）命题的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0．（真）

否命题：不能被5整除的整数，其末位不是0．（真）

（3）命题的否定：若xy=0，则x≠0且y≠0．（假）

否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0．（真）

16. ：；：关于x的方程有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.

【解析】若关于x的方程有2个小于1的正根，设为、，

则，有且，

根据韦达定理：

有；，即有.

反之，取

方程无实根，所以，

综上所述，是的必要不充分条件.

17.已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围．

【解析】由命题可以得到：    ∴

由命题可以得到： ∴

∵或为真，且为假   ∴有且仅有一个为真，

当为真，为假时，，

当为假，为真时，，

所以，的取值范围为或．

18. 已知抛物线C：和点，，求抛物线C与线段有两个不同交点的充要条件.

【解析】①必要性：

由已知得，线段的方程为

由于抛物线C和线段有两个不同的交点，

所以方程组   ① 有两个不同的实数解.

消元得 

设，则有

，

②充分性：

当时，

∴方程有两个不等的实根、，且，方程组①有两组不同的实数解.

因此，抛物线和线段有两个不同交点的充要条件.