椭圆的几何性质

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

       椭圆的几何性质

 

二. 教学目标：

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

 

三. 重点、难点：

重点：椭圆的几何性质及初步运用．

难点：椭圆离心率的概念的理解．

 

四. 知识梳理

1、几何性质

（1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

（2）对称性

把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称

（3）顶点

在中，须令x＝0，得y＝±b，点B₁（0，－b）、B₂（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A₁（－a，0）、A₂（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A₁（－a，0）、A₂（a，0）、B₁（0，－b）、B₂（0，b）．

①线段A₁A₂、线段B₁B₂分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；

②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

（4）离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

_{椭圆的焦距与长轴的比}

椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁；

当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；

当e＝0时，c＝0，a＝b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x²＋y²＝a²，图形就是圆了．

2、性质归纳为如下表：

标准方程
图像
范围	，	，
对称性	关于x轴、y轴均对称，关于原点中心对称
顶点坐标	长轴端点A1（－a，0），A2（a，0）；短轴端点B1（0，－b），B2（0，b）	长轴端点A1（0，－a），A2（0，a）；短轴端点B1（－b，0），B2（b，0）
焦点坐标	F1（－c，0），F2（c，0）	F1（0，－c），F2（0，c）
半轴长	长半轴长：a，短半轴长：b
焦距	2c
a，b，c关系
离心率

 

【典型例题】

例1. 求椭圆16x²＋25y²＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．

       解：（1）列表。将，根据在第一象限的范围内算出几个点的坐标（x，y）

（2）描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆．

 

例2. 若椭圆的离心率为e＝，求实数k的值。

解：当焦点在x轴上时，有得k＝8.

当焦点在y轴上时，有得k＝.

所求的k＝8或。

 

例3. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的距离的最小值为，求椭圆的方程。

解：

∴所求的椭圆方程为

 

例4. 椭圆（a>b>0）上一点M与两焦点F₁，F₂所成的角∠F₁MF₂＝α，求证△F₁MF₂的面积为b²tan.

解：设M F₁＝m，M F₂＝n，

则m＋n＝2a，且4c²＝m²＋n²－2mncosα＝（m＋n）²－2mn（1＋cosα）

4b²＝2mn（1＋cosα）

 

例5. 如图，椭圆的长短轴端点为A，B，过中心O作AB的平行线，交椭圆上半部分于点P，过P作x轴的垂线恰过左焦点F₁，过F₁再作AB的平行线交椭圆于C，D两点，求椭圆的方程。

解：设所求的椭圆方程为（a>b>0）

则P（－c，），

又AB∥OP∴

直线CD的方程为y＝（x－c），将其代入椭圆方程化简得，2x²－2cx－c²＝0

∵

∴

所求的椭圆方程为

 

【模拟试题】（答题时间60分钟，满分100分）

一、选择题（5分×8＝40分）

1、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则P点到另一个焦点的距离为：  （    ）

    A、2              B、3               C、5           D、7

2、椭圆的一个焦点与两个顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的（    ）

A、倍             B、2倍　　　      C、倍　　　  D、倍

3、椭圆的一个焦点为F₁，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是：（    ）

   A、          B、         C、       D、

4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率为   （    ）

    A、             B、                  C、           D、

5、椭圆（a>b>0）的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰好为c，则椭圆的离心率为（    ）

A、       B、            C、        D、

6、若以椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则此椭圆长轴的长的最小值为（　　　）

A、1        　   B、                  C、2               D、2

7、椭圆的两个焦点分别为F₁、F₂，以F₂为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，已知直线F₁M与圆F₂相切，则离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）

A、          B、                   C、        D、

8、设椭圆（a>b>0）的两个焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上一点，若PF₁⊥PF₂，则｜PF₁－PF₂｜等于（　　　）

A、                                    B、2     

       C、                                      D、2

 

二、填空题（5分×4＝20分）

9、平面上点P到两个定点A、B的距离之和等于|AB|，则P点轨迹是          。

10、已知对称轴为坐标轴，长轴长为6，离心率为的椭圆方程为          。

11、椭圆的离心率为，则实数m的值为              。

12、若M为椭圆上一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且∠MF₁F₂＝2∠MF₂F₁＝2α（α≠0），则椭圆的离心率是               。

 

三、解答题（共40分）

13、（满分8分）已知椭圆的焦点在轴上，焦距是4，且经过，求此椭圆的方程。

14、（满分10分）若点在椭圆上，分别是椭圆的两个焦点，且，求的面积。

15、（满分10分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点A，上顶点B，左焦点F₁到直线AB的距离为|OB|，求椭圆的离心率。

16、（满分12分）已知F₁（－3，0），F₂（3，0）分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的点，满足PF₂⊥F₁F₂，∠F₁PF₂的平分线交F₁F₂于M（1，0），求椭圆方程。

 

【试题答案】

一、选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	D	B	A	B	D	D	C	B

二、填空题

9、线段AB

10、

11、m＝3或m＝

12、

三、解答题

13、解：因为焦距为4，所以即①…………3′

设椭圆方程为因为在椭圆上

所以  ②…………6′

由①②得    所以椭圆方程为…………8′

14、解：设

由椭圆得…………2′

  即   ①…………4′

是直角三角形  4 ②…………6′

由①②得…………8′

所以…………10′

15、解：直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0，…………4′

则左焦点F₁（－c，0）到其距离为

16、解：PF₂⊥F₁F₂，PF₂＝，…………2′

∵，………………4'

…………………………6'

………………8'

      又………………10'

    ………………11'

所求的椭圆方程为……………………12'