如何列举基本事件 我们知道,求古典概型的概率很重要的一步是列举基本事件,但在具体列举基本事件时,很多同学颇感头痛,特别是面对一些数据较大、涉及的基本事件总数较多时,“列举”可谓举步维艰。稍有疏忽,就给个“小”教训,有没有合适的方法呢?有。这里向你介绍三种常规方法,也许可以让你摆脱困扰。请看:
1.树形图列举法
例1、用1,2,3,4组成的各位数字不重复的四位数,求该四位数中大于3242的概率;
解析:用树形图列举所有满足条件的四位数如下
结合树形图,可知所有的四位数分别为:1342,1324,1432,1423,1234,1243,2413,2431,2143,2134,2314,2341,2143,2134,2314,2341,3142,3124,3214,3242,3412,3421, 4132,4123,4312,4321,4231,4213;
由此可得四位数的个数为24个,其中大于3242的有8个,那么,大于3242的概率为。
点评:本题若不借助于树形图,则很难逐一列举。有了树形图,就方便了很多。
类题演练1 从长度分别为3、4、5、7、9的5条线段中任取3条,能构成三角形的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
解:用树形图列举所有可能的三条线段如下:
结合树形图,可知基本事件为“”“” “” “” “” “”
“” “” “” “”共10个,其中,有四个“” “” “” “”不能构成三角形;故能构成三角形的概率为,选B;
2.矩形列举法
例2、从含有三件正品和两件次品的五件产品中,先后任取两件,根据下列条件,求恰有一件正品的概率:
(1)第一次抽取是无放回的;
(2)第一次抽取是有放回的;
解析:设三件正品分别为A、B、C;两件次品分别为:M、N;
(1)第一次抽取是无放回的基本事件如下:
显然,基本事件的总数为,其中,同时含A、B、C中一个,再含M、N中一个的基本事件个数为
于是,此时恰有一件正品的概率为
(2)第一次抽取是有放回的基本事件如下:
显然,基本事件的总数为,其中,同时含A、B、C中一个,再含M、N中一个的基本事件个数为
于是,此时恰有一件正品的概率为
点评:本题的基本事件借助于矩形列举法,通过上述的矩形,很容易揭示基本事件的构成规律,抓住这个规律,很快写出了所有的基本事件。
类题演练2 同时抛两个骰子,求向上的点数之和为的概率。
解:把两个骰子着色红与蓝,用表示红骰子出现的点数,用表示蓝骰子出现的点数,再用数对来表示出现的可能结果,其基本事件如下:
共个结果;将向上的点数之和为的结果记为事件;由于,出现向上的点数之和为的结果分别为、、、、、共六种情况;
那么
3.三角形列举法
例3、一个盒子里装有标号为1,2,…,9的9个标签,随机的抽取两个
(1)2号签被抽出的概率是多少?
(2)2号签或3号签被抽出的概率是多少?
解析:基本事件如下:
显然,基本事件的总数为
(1)2号签被抽出的基本事件在三角形中的第二行及第一行中的第一个,共8个。那么,2号签被抽出的概率是
(2)2号签或3号签被抽出的基本事件在三角形中的第二行、第三行及第一行中的前两个,共15个。那么,2号签或3号签被抽出的概率是
点评:本题在列举基本事件中,结合三角形,使基本事件的规律看的非常清楚,因此,写起来也变得轻松、方便。
例4、现从A,B,C,D,E,F六人中选取三人参加一个重要会议,六人被选中的机会相等,求:
(1)A 被选中的概率;
(2)A和B同时被选中的概率;
(3)A或B被选中的概率;
解析:基本事件如下:
显然,基本事件的总数为
(1)“A 被选中” 所包含的基本事件是第一个三角形中的所有事件,其个数为。那么,A 被选中的概率为
(2)“A和B同时被选中”所包含的基本事件是第一个三角形中第一行的所有事件,其个数为。那么,A和B同时被选中的概率为
(3)“A或B被选中” 包含的基本事件是第一个三角形与第个三角形中的所有事件,其个数为。那么,A或B被选中的概率为
点评:本题在列举基本事件中,注意到了三角形列举法的灵活应用。它不是通过一个三角形全部列举的,而是建立在多个三角形的基础上将基本事件全部列出。
类题演练3 一个袋内装有大小相同的6个白球和5个黑球,从中任意抽取2个球,求抽到白球、黑球各一个的概率。
解:用表示6个白球,用5个黑球,用三角形列举法,列举的基本事件如下:
显然,基本事件的总数为55;其中白球、黑球各一个的,即既含A又含B的共有30个,因此,抽到白球、黑球各一个的概率为。 |
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