?概述数学中的基本概念，集合论的主要研究对象。一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。如①北京、天津、上海三城市；②全体英文大写字母；③《阿Q正传》中出现的不同汉字;④全体自然数；⑤平面上的所有直线,都是集合的例。但池子中的水,古今著名小说就不算集合，因为不满足确定与可区别的条件。事物m是集合S的元素有时也说成m属于S 或S含有m，记为m∈S。如果集合只含有有限个元素，便称为有穷集合，否则称为无穷集合。在上面的例中，前三个是有穷集合，后两个是无穷集合。 按照集合的定义，当一个集合的所有元素都已知时，这个集合就确定了。这时如果它是有穷集，便可将其元素全部列出，置于括弧之内来表示(什么顺序都无关系)。如①(北京、天津、上海)，②(A,B,C,…,Z)，对于③虽有困难，但原则上还是办得到的。但是，如果集合是无穷集，那么，上面的方法就行不通了。这时只好利用能够刻画所有元素x的某一性质 P(x)来加以概括。如例 ④中的集合可表示为(x｜x 是自然数)。这种表示也适用于有穷集，如｛北京、天津、上海｝=｛x｜x=北京或x=天津或x =上海｝=｛x｜x为中国现有直辖市｝。一个集合可以没有任何元素，这种集合只有一个，叫作空集,通常用北欧字母∈ 来记它。如果集合B的元素都是A的元素,就称B为A的子集,或A包含B,记为B嶅A 。例如，偶数全体嶅自然数全体。空集 被看作是任何集合的子集。任一集合A都是它自己的子集,即A嶅A 。A的异于自己的子集 B称为 A的真子集,记为B嶅 A 。两集合的相等（即含有同样的元素）可用包含关系来表达:A=B当且仅当 A嶅B且B嶅A 。包含关系还具备传递性：即由 A嶅B,B嶅C可得A嶅C。要注意的是,属于关系∈与包含关系嶅是有区别的：∈是元素对集合的关系，而嶅是集合对集合的关系。可以有 ，但 不成立。 从任意两个集合A与B可以得到一些新的集合。以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记为A∪B（A与B中的相同元素在并集中出现一次）。以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记为A∩B。以属于A而不属于B 的元素为元素的集合称为A与B的差（集），记为A\B；特别,当B嶅A时,可记为CAB，称为B关于A的补（集）。例如A=｛0,1,3｝,B=｛0,3,5,10｝，则A∪B＝｛0,1,3,5,10｝,A∩B={0,3},A\B={1}。并与交的运算分别服从交换律，结合律且共同服从分配律，即对任意的A，B，C，有 A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)， A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)， A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)， A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。 它们与差运算一起服从德·摩根定律： S\(A∪B)=(S\A)∩(S\B)， S\(A∩B)=(S\A)∪(S\B)。 这里S为任一集合，特别当S包含A与B时，有 , 。 一个集合也可以以其他集合为元素。这就是所谓集合的集合，如上面例⑤就是一个集合的集合，如果把直线看做是点的集合的话。一个集合 A的所有子集组成的集合是一个很重要的集合的集合，称为A的幂集,记为P(A)。例如,当A=｛1,2,3｝时，P(A)={ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。集合的集合是所谓集合族的特殊情形。一般而论,如果对于某一集合I(≠ )的每一个元素I∈I，都指定有一个确定的集合Ai，那么，这些Ai的全体就称为一个集合族,记为{Ai,i∈I}。例如,当I=N即自然数全体时,{Ai,I∈N}就是集合序列：A1,A2,A3,…。集合族的成员一般允许有重复，如果没有重复时，它就是一个集合的集合。对于集合族{Ai,I∈I},可定义它的并为｛x｜对某I∈I,x∈Ai｝，记为 。仿此,可定义它的交为｛x｜对一切I∈I，x∈Ai｝,记为 。特别当I=｛1,2,…,n｝时，通常将并写成 ,将交写成 ；当n=2时，就是上面的A1∪A2和A1∩A2。当I=N时，通常将并写成 ，将交写成 。两个对象α，b按一定次序（譬如α在前,b在后）排列起来,称为一个序对，记为<α,b>，α称为它的第一坐标,b称为第二坐标。两个序对<α,b>，<α′,b′>当且仅当 α= α′,b=b′即各坐标分别相等时，规定它们是相等的。因此,除非α=b,<α,b>≠<b, α>。也可直接定义<α,b>为｛｛α｝,｛α,b｝｝,虽不大自然,却很精确。同样可定义一般的有序n组。设A，B为两个集合，从A，B中各取一个元素α，b所作序对<α,b>的全体组成一个集合,即｛<α,b>｜α∈A且b∈B｝,它称为A与B（按这次序）的直积或笛卡儿积，记为A×B。直积概念也可从两个因子推广到n个因子，A1×A2×…×An，记为 ，特别当各Ai均等于A时，称为A的n次直幂,记为A，它相当于所有从｛0,1,…,n-1｝到A的映射全体组成的集。推而广之，所有从B到A的映射全体组成的集可以记为A 。 |
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