第十六章分式知识点和典型例习题

第十六章分式知识点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】   1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．   2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．   3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:

bb?ca?ca?a?a

0? 2.异分母加减法则:

bda

c

bcac?

daac

bc?daac

a?0,c?0?;

3.分式的乘法与除法:

bdbdda

c

ac

,

ba

cd

ba

c

bdac

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a

m

●

an =am+n; am÷ an =am－n

m

n

m

n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m

= a b, (a)

= a

mn

7.负指数幂: a

-p

=

1a

p

a0

=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a

2

- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

1

【例1】下列代数式中：

xa?by

2

,1

2

x?y,,

x

2

a?b

x?y

,

x?yx?y

，是分式的有：   .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x有何值时，下列分式有意义 （1）

x?4 （2）

3xxx?4

（3）

2 （4）

6?x

2

2

x

2

1

|x|?3

（5）

1

x?

1x

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.

（1）

x?1x?3

（2）

|x|?2  （3）

x2?2x?3x

2

4

x

2

5x?6

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x为何值时，分式

48?x

为正；

（2）当x为何值时，分式

5?x3?(x?1)

2

为负；

（3）当x为何值时，分式

x?2x?3

为非负数.

练习：

1．当x取何值时，下列分式有意义： （1）

1  （2）

3?x6|x|?3

（3）

1

(x?1)

2

1

1?

1x

2．当x为何值时，下列分式的值为零： 2

（1）

5?|x?1|x?4

（2）

25?x

x2

6x?5

3．解下列不等式 （1）

|x|?20x?1

（2）

x?5?0

x

2

2x?3

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：AB?A?M?MB?M

AB?M

2．分式的变号法则：

aa?b

a?b

a?b

b

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

1（1）2x?23y

1

（2）

0.2a?0.03b3x?

14y

0.04a?b

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）

x?y?x?y

（2）?

aa?b

（3）?

a?b

题型三：化简求值题

【例3】已知：

113xy?2yx?y

5，求

2x?x?2xy?y

的值.

提示：整体代入，①x?

y?3xy

，②转化出

1x?1y

.

【例4】已知：x?

1x

2

，求x2

1的值.

x

2

【例5】若|x?y?1|?(2x?3)2?0，求14x?2y

的值.

练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

0.03x?0.2y0.4a?

3  （2）

5b

0.08x?0.5y

11

4

a?

10

b

22．已知：x?

1x?3，求xx

4

x

2

的值.

1

3．已知：

11a?3ab?2ba

2b

3，求

b?ab?a

的值.

4．若a2?2a?b2?6b?10?0，求

2a?b3a?5b的值.

5．如果1?

x?2

，试化简

|x?2|x?12?x

|x?1|

|x|x

.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分.

（1）

c

2ab,

b

,

a

3a2c?5b2；               （2）

a

,

b

；

ca?b2b?2a

（3）

1,

x

2（4）a?2,

1x

2

2

,

；       x

2

2?a

x1?2x?x?x?2

题型二：约分

【例2】约分： 2

（1）

16xy（3）

n

2

m

2

x?220xy

3；m?n

；（3）

x2x

2

.

x?6

题型三：分式的混合运算

【例3】计算： 2

（1）(

abc

2

2

bc3?c

)3

(

ab

)?(

a

)

4

；    （2）(

3a

3

x?y)?(x

2

y2

)?(

y?xy?x

)

2

；（3）m?2na

2

n?m?

nm?n?

2mn?m

；

（4）a?1

a?1

；

（5）11?x

1

2x4x

3x

71?x

2

4

8x

8

；

1?x

1?x1?（6）

11(x?1)(x?1)

1(x?1)(x?3)?

(x?3)(x?5)；

（7）(

x2

4

1?2x

x

2

4x?4

x?2

)?(

x

2

x?1

)

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值 （1）已知：x??1，求分子1?

8

[(

x

2

4

1x2

4

4x

1)?(

12

x

)]的值；

（2）已知：

x2

yzxy?2yz?3xz3

4

，求

2

2

的值；

x

2

y?z

（3）已知：a2?3a?1?0，试求(a2

1)(a?

1a

2

a

)的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若1?3x?

M?

NM,Nx

2

x?1

x?1

，试求的值.

1

练习：

1．计算

（1）

2a?5?a?1?

2a?32(a?1)

2(a?1)

2(a；   （2）

a

2

b

2

2ab

1)

a?b

b?a；

（3）

a?b?ca?2b?3c4）a?b?2b2

a?b?c

b?c?a?

b?2cc?a?b；  （a?b

；

（5）(a?b?

4ab)(a?b?4ab)a?b

a?b

；

（6）111?x

1?x

2；

1?x

2

（7）

1?

2(x?2)(x?3)

(x?1)(x?3)

1

(x?1)(x?2)

.

2．先化简后求值

（1）

a?1a

2

4

a?2

1

，其中a满足a2?a?0.

a

2

2a?1a

2

1

（2）已知x:

y?2:3

，求(

x

2

y

2

y3

的值.

xy

)?[(x?y)?(

x?x

)]?

xy

2

3．已知：

5x?4AB(x?1)(2x?1)

x?1

2x?1

，试求A、B的值.

4．当a为何整数时，代数式

399a?805a?2

的值是整数，并求出这个整数值.

（四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）(a?2)?3?(bc?1)3

（2）(3x3y2z?1)?2?(5xy?2z3)2

(a?b)?35（3）[

(a?b)2

（4）[(x?y)3?(x?y)?2]2?(x?y)?6(a?b)

2

(a?b)

4

]

题型二：化简求值题

【例2】已知x?x?1?5，求（1）x2?x?2的值；（2）求x4?x?4的值. 题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）(3?10?3)?(8.2?10?2)2；（2）(4?10?3)2?(2?10?2)3. 练习：

1．计算：（1）(1

1

)?(1

)?2?|?1

3

5

5

3

|?(1?3)0?(?0.25)2007?42008

（2）(3?1m3n?2)?2?(m?2n)?3

(2ab2

)

2

2（3）

(ab)

2

(3a3

b2)?(ab3

)

2

y)2

（4）

[4(x?(x?y)?2]

2

[2(x?y)

1

(x?y)]

2

2．已知x2

5x?1?0，求（1）x?x

1

，（2）x2?x

2

的值.

第二讲 分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.           3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程 （1）

1；（2）

210

x?1

3x

x?3

x?；（3）

x?14

xx?1

；（4）

5x

2

1x?3

x?54?x

1

提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.

题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程 （1）

x4x?4x?79x?1

x

4

；      （2）

x?6

x?x?8

x?10x?9?

x?6x?5

提示：（1）换元法，设xx?1

y

；（2）裂项法，

x?7x?6

1?

1

x?6

.

【例3】解下列方程组

1

11?(1)?

x?y?2??1

1?

1(2) ?yz3??1z

1?1

(3)

x4题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x的分式方程2x?3

1?

mx?3

有增根，求m的值.

【例5】若分式方程2x?a1x?2

的解是正数，求a

的取值范围.

提示：x?

2?a0

3

且x?2，?a?2且a??4.

题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x的方程

x?acb?x

d

(c?d?0)

提示：（1）a,b,c,d是已知数；（2）c?d

0

.

题型五：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程： （1）

x?12xx?1

1?2x

0

；  （2）

xx?3

2?

4x?3

；

（3）2x3x?2

x?2?2

；

（4）

7

3?x2

x

2

xx?x

2

1?

7x

2

1

（5）5x?4?

2x?512x?43x?2

2

（6）1x?1

1x?5

1x?2

1x?4

（7）

xx?9x?2

x?1x?7

x?1

x?8x?6

2．解关于x的方程： （1）

12a?1x?b

(b?2a)；

（2）1aa

x

1b

bx

(a?b)

. 3．如果解关于x的方程

k?2?

x

x?2

x?2

会产生增根，求k的值.

4．当k为何值时，关于x的方程x?3x?2

k(x?1)(x?2)

1的解为非负数.

5．已知关于x的分式方程

2a?1x?1

a

无解，试求a的值.

（二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

一、交叉相乘法

例1．解方程：

13x?

x?2

二、化归法

例2．解方程：

12

x?1

0

x2

1

三、左边通分法

例3：解方程：

x?81x?7

7?x

8

四、分子对等法

例4．解方程：

1b(a?ax?1b?x

a?b)

五、观察比较法

例5．解方程：

4x5x?2

5x?2174x

4

六、分离常数法

例6．解方程：

x?1x?8?2x?2

x?9

xx?3

x?7x?8

七、分组通分法

例7．解方程：1x?2

1x?5

1x?3

1x?4

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程

x?1mx?2

2?x无解，求m的值。

．若关于x的方程

xk

2

例2x?1

x不会产生增根，求k的值。x

2?1

x?1

例3．若关于x分式方程1?

k3

x?2x?2?的值。 x2

有增根，求k?4

例4．若关于x的方程1

k?5

k?1有增根x

1，求k

x1

x

x

2

的值。?xx

2

1

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