例1 判断下列语句是否正确,如果是错误的,请说明理由. (1)过直线外一点画直线的垂线,垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离. (2)从直线外一点到直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离. (3)画出直线外一点到直线的距离. (4)如图,延长直线AB,画出表示点P到直线AB的距离的垂线段PQ.
解:(1)这种说法是错误的.因为垂线是直线.它的长度不能度量.正确的说法是“垂线段的长度叫做点到直线的距离”. (2)这种说法是错误的.因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段本身,而是指垂线段的长度. (3)这种说法是错误的,因为距离是一个数量,而不是图形.正确的说法应该是“画出直线外一点到直线的垂线段”或“度量直线外一点到直线的距离”. (4)这种说法是错误的.因为AB是直线,直线是向两方无限延伸的,不能说“延长直线”. 例2 在给出的图形中,完成下列作图
(1)作出点A到BC的垂线段AD,并量出点A到直线BC的距离. (2)过点B作AC的垂线,垂足为E;过点C作AB的垂线,垂足为F. (3)延长DA,你发现有什么有趣的结论? 分析: (l)点A到直线BC的垂线段是线段AD,而点A到直线BC的距离是指垂线段AD的长度. (2)画一条线段或射线的垂线,就是画这条线段或射线所在直线的垂线.因此垂足可能在线段或射线的延长线上.在本题中作垂线时,需将直线BA、CA画长些,即需延长线段BA、CA(见图)
(3)延长DA后,可以发现直线DA、BE、CF交于同一点G,对这一事实,将在初二时作出证明. 例3 已知,如图,直线AB、CD互相垂直,垂足为O,直线EF过点O, ,求 的度数。 分析 由 可知 ,因此, 与 互余。又因为 与 是对顶角,于是 ,于是 可求。 解法一:∵ 直线AB与EF交于O,(已知) ∴ (对顶角相等) ∵ (已知) ∴ (等量代换) ∵AB、CD互相垂直(已知) ∴ (垂直定义) ∴ ∴
解法二:∵ 直线AB、CD互相垂直(已知) ∴ (垂直定义) ∴ ∵ (已知) ∴ ∵直线AB与直线EF交于点O(已知) ∴ (对顶角相等) ∴ (等量代换) 例4 已知:如图OA⊥OD,OC⊥OB,∠COD=60°,求∠AOB的度数.
分析: 方法1.先分别求出∠AOC与∠BOD的度数,再用三个角∠AOC,∠CDD, ∠DOB的和求∠AOB的度数. 方法2.先求∠AOC的度数,用∠AOC与∠COB两个角的和求∠AOB的度数. 方法3.先求∠BOD的度数,用∠AOD与∠BOD两个角的和求∠AOB的度数. 方法4.直接用∠AOD与∠BOC的和减去重叠部分∠COD亦可. 解:方法3 ∵OA⊥OD OC⊥OB(已知) ∴∠AOD=90° ∠BOC=90°(垂直定义) ∵∠COD=60°(已知) ∴∠BOD=∠BOC-∠COD=90°-60°=30°(余角定义) ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+30°=120° 例5 已知,如图, ,D是垂足,连结OB,下列说法中: ①线段OB是O、B两点的距离;②线段OB的长度是O、B两点的距离;③线段OD是O点到直线BC的距离;④线段OD的长度是O点到直线BC的距离. 其中正确的个数有( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 分析本题主要考查两点间的距离及点到直线距离的概念.两点间的距离是指连结两点的线段的长度,而不是线段;点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度,而不是垂线段.由此可知②、④是正确的. 解选(B). 说明 注意“垂线段”与“垂线段长度”的区别. 例6 △ABC中,∠C=90°,三角形的哪一条边最长?为什么?
解:AB边最长,理由如下: ∵∠C=90°(已知) ∴AC⊥BC(垂直的定义) ∴AC是点A到直线BC的垂线段. 而AB是点A到直线BC的斜线段. ∴AC<AB(垂线段最短). 同理可以证明BC<AB,所以AB边最长. 例7 在下图的长方体中,棱D′C′与哪些面垂直?平面D′DCC′与哪些面垂直?为什么?
解:根据长方体的棱与面的特征可知 D′C′⊥B′C′,D′C′⊥C′C D′C′⊥A′D′,D′C′⊥D′D 而且,B′C′与C′C在同一平面B′C′CB内相交;A′D′与D′D在同一平面A′D′DA内相交.所以,棱D′C′与平面B′C′CB垂直,与平面A′D′DA也垂直. 同样道理,可以知道B′C′是平面D′DCC′的垂线,AD也是平面D′DCC′的垂线.而平面A′D′C′B′和平面B′C′CB都经过直线B′C′;平面A′D′DA和平面ADCB都经过直线AD.所以,平面A′D′C′B′、B′C′CB、A′D′DA、 ADCB都与平面D′DCC′垂直. |
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来自: 百眼通 > 《10旧版数学-446》