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【原】第一、二类椭圆积分加法公式的成立条件

 toujingshuxue 2018-08-08

（一）F椭圆积分加法公式：

F(x_1;k)+F(x_2;k)=F\left(\arcsin\frac{\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}\sin x_1+\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}\sin x_2}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2};k\right)\,\!                     =F(x3；k)

其中，F(x；k)=∫(0,x)[1/√(1-k2sin2θ)]dθ

 

（二）E椭圆积分加法公式：

E(x_1;k)+E(x_2;k)=E\left(\arcsin\frac{\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}\sin x_1+\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}\sin x_2}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2};k\right)\,\!+\frac{k^2\sin^2 x_1\sin x_2\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}+k^2\sin x_1\sin^2 x_2\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2}\,\!
                                     =E(x3；k)+k2 sinx1sinx2sinx3 
其中，E(x；k)=∫(0,x)√(1-k2sin2θ)dθ

 

（三）成立条件：

        ①  -π/2 ≤ (x1、x2) ≤ π/2 

        ②  tanx1tanx2 ≤ 1/√(1-k2) 

 

（四）当0＜(x1、x2)≤π/2 且 tanx1tanx2＞1/√(1-k2) 时，

（1）F(x1；k)+F(x2；k)=F(π-x3；k)=2K(k)-F(x3；k)

（2）E(x1；k)+E(x2；k)=E(π-x3；k)+k2sinx1sinx2sinx3

                               =2E(k)-E(x3；k)+k2sinx1sinx2sinx3

 

（五）当-π/2≤(x1、x2)＜0 且 tanx1tanx2＞1/√(1-k2) 时，

（1）F(x1；k)+F(x2；k)=F(-π-x3；k)=-2K(k)-F(x3；k)

（2）E(x1；k)+E(x2；k)=E(-π-x3；k)+k2sinx1sinx2sinx3

                               =-2E(k)-E(x3；k)+k2sinx1sinx2sinx3

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    来自： toujingshuxue > 《数学》

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