高考数学之平面解析几何考察范围

直线与圆的方程问题单独考查的次数较少，多作为条件结合圆锥曲线进行综合命题，直线与圆的位置关系为高考命题的热点，需重点关注，此类试题难度中等偏下，多在选择题或填空题中出现．

圆锥曲线仍为高考考查的热点，一般为“一大一小”的形式，小题多考查圆锥曲线的标准方程与简单性质，解答题作为压轴题考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围、探索性问题，难度较大．

1．(选修2­1 P46例4改编)如图，A、B是椭圆C长轴上的两个顶点，M是C上一点，∠MBA＝45°，tan∠MAB＝，则椭圆的离心率为(　　)

A.　　　　                            B．　　　　

C.　　　　                             D．

　D　[解析] 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．

则直线MA，MB的方程分别为y＝(x＋a)，y＝－x＋a.

联立解得M的坐标为，

所以＋＝1，化简得a²＝3b²＝3(a²－c²)，

所以＝，所以＝.

2．(选修2­1 P69例4改编)过抛物线y²＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则|AB|＝(　　)

A．8　　　　　　　　　　       B．9

C．10                                       D．12

 

　B　[解析] 如图，设A，B在准线上的射影分别为D，E，且设AB＝BC＝m，直线l的倾斜角为α.

则|BE|＝m|cos α|，

所以|AD|＝|AF|＝|AB|－|BF|＝|AB|－|BE|＝m(1－|cos α|)，

所以|cos α|＝＝.

解得|cos α|＝.

由抛物线焦点弦长公式|AB|＝得

|AB|＝＝9.故选B．

或：由|cos α|＝得tan α＝±2.

所以直线l的方程为y＝±2(x－2)，代入y²＝8x得

8(x²－4x＋4)＝8x，即x²－5x＋4＝0.

所以x_A＋x_B＝5，

则|AB|＝x_A＋x_B＋4＝9.故选B．

3．(选修2­1 P59例5改编)双曲线－＝1上任一点P到点A(5，0)的距离与到直线5x－16＝0的距离之比为(　　)

A.　　                                      B．

C.                                           D．

　B　[解析] 法一：取P(4，0)，则|PA|＝1，P到直线x＝的距离d＝＝，

所以所求的比值为＝.

法二：设P(x₀，y₀)，则－＝1，即y＝(x－16)，

所以＝＝

＝＝.故选B．

4．(选修2­1 P49习题2.2A组T6改编)已知椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F₁，F₂，∠F₁MF₂＝120°，△MF₁F₂的面积为.

(1)求椭圆G的方程；

(2)过椭圆G长轴上的点P(t，0)的直线l与圆O：x²＋y²＝1相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．

[解] (1)由椭圆性质，知|MF₂|＝a，

于是c＝asin 60°＝a，b＝acos 60°＝a.

所以△MF₁F₂的面积S＝·(2c)·b＝·(a)·＝，

解得a＝2，b＝1.

所以椭圆G的方程为＋y²＝1.

(2)显然，直线l与y轴不平行，

可设其方程为y＝k(x－t)．

由于直线l与圆O相切，则圆心O到l的距离d＝＝1，即k²t²＝k²＋1.①

联立

化简得(1＋4k²)x²－8tk²x＋4(t²k²－1)＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，有x₁＋x₂＝.

设Q(x₀，y₀)，有，解得x₀＝.

由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x₁＋x₂＝t＋x₀.

因此＝t＋，化简得k²＝，

将其代入①式，可得t＝±.