例1. 已知sinθ+cosθ=,θ(0,π),则cotθ=________。 解析:由sinθ+cosθ=平方得 sinθcosθ=。 又θ(0,π), 所以sinθ>0,cosθ<0, 且sinθ>, 将sinθ,cosθ看作是方程的两根。 所以sinθ=,cosθ=。 从而cotθ=,应填。 例2. 已知x,y ∈[],且x3+sinx-2a=0①,4y3+sinycosy+a=0②,求cos(x+2y)的值。 解析:设f(u)=u3+sinu。 由①式得f(x)=2a,由②式得 f(2y)=-2a。 因为f(u)在区间[]上是单调奇函数, 所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。 又所因x,-2y∈[], 所以x=-2y,即x+2y=0。 所以cos(x+2y)=1。 例3. 函数f(x)=sinx+2,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是______。 解析:f(x)= 函数f(x)=sinx+2,x∈[0,2π]的图象(如图1)与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则1<k<3。 例5. 若△ABC的三内角满足sinA=①,问此三角形是否可能为直角三角形? 解析:假设△ABC可以为直角三角形。 (1)若B=90°,则A=90°-C,代入①中,得 sin(90°-C)=, 所以cos2C=1+sinC,1-sin2C=1+sinC, 所以sinC=1,即C=90°。这是不可能的,所以B≠90°。 (2)同理,C≠90°。 (3)若A=90°。 ①式右边= ①式左边=sinA=sin90°=1。 所以此三角形可为直角三角形,此时A=90°。 例6. 已知sin3θ+cos3θ=1,求sinθ+cosθ的值。 解析:因为sin3θ+cos3θ =(sinθ+cosθ)(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ) =(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ) 所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。 设sinθ+cosθ=x(), 则sinθcosθ=。 所以x, 即x3-3x+2=0,(x-1)2(x+2)=0。 因为, 所以x-1=0,得x=1。 所以sinθ+cosθ=1。 例7. 证明cos。 证明:设, b=, 则ab= = =。 因为b≠0, 所以a=。即原式得证。
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