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1.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算. 2.能利用二次根式的乘、除法法则和性质化简二次根式.
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖,相互补充的辩证关系. 2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
【重点】 能熟练进行二次根式的乘法和除法运算. 【难点】 综合运用有关法则和性质化简二次根式. 第课时
1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简. 2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.
1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的. 2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.
【重点】 会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算. 【难点】 二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题. 【学生准备】 复习二次根式的定义和代数式的定义.
导入一: 古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7 m,5 m,8 m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗? 原来海伦先算出三角形的周长的一半为10 m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢?这节课我们一起来进行探讨. [设计意图] 创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础. 导入二: 我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗? [设计意图] 联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.
1.二次根式的乘法 思路一 计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律? (1)×= ,= ; (2)×= ,= ; (3)×= ,= . 参考上面的结果,用“>,<或=”填空. × ,× ,× . 老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充. 老师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数. 提问:二次根式的乘法法则是什么?字母表达式是怎样的? 学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变. [设计意图] 培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯. [知识拓展] (1)·=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn(a≥0,b≥0). 思路二 出示教材第6页“探究”. 计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律? (1)×= ,= ; (2)×= , ; (3)×= ,= . 学生自己计算,并力争独立发现规律:×=,×=,×=. 教师演算: ×=×5=, = =,则 ×= . 由上面的特殊例子引导学生总结:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变. [过渡语] 你会应用二次根式的乘法法则吗? 尝试练习(教材例1): 计算:(1)×;(2) ×. 学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流. [设计意图] 由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法. 2.积的算术平方根的性质 思路一 [过渡语] ·=反过来也成立吗? 计算并思考: ①== ,×=2×5= ; ② = = ,× =6×= ; ③== ,×=0.1×3= . 你认为= (a≥0,b≥0). 学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导: 根据算术平方根的意义,得==10,×=2×5=10,则=×;同样, = =,× =6×=,则有=× ;==0.3,×=0.1×3=0.3,则有=×.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积. 进一步明确:=·(a≥0,b≥0). [设计意图] 让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望. 思路二 [过渡语] 把·=反过来,就得到=·,利用它就可以将二次根式化简. 尝试练习: 化简:(1);(2)(m>0). 学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为202×10,再利用=·计算; (2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再利用=·计算. 解:(1)原式=×=20. (2)原式==·=9m. 教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·(a≥0,b≥0). [设计意图] 鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力. [知识拓展] (1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0. 3.例题讲解 (教材例1)计算: (1)×;(2) ×. 引导学生结合前面尝试练习分析:根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算. 解:(1)×=. (2) ×= ==3. (教材例2)化简: (1); (2). 教师引导发现:被开方数4a2b3含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简. 解:(1)=×=4×9=36. (2)=··=2·a·=2ab. (教材例3)计算: (1)×;(2)3×2;(3)· . 〔解析〕 根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)计算,其中3×2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数. 解:(1)×===×=7. (2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30. (3)· = ==·=x. [解题策略] 化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简. 【变式训练】 判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正. (1)=×; (2) ×=4× ×=4× =4=8. 解:(1)不正确.改正:==×=2×3=6. (2)不正确.改正: ×= ×= ==4. [设计意图] 让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.
师生共同回顾本节课所学主要内容: 1.·=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0). 2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.
1.若=·,则a的取值范围是 ( ) A.-4≤a≤4 B.a>-4 C.a≤4 D.-4<a<4 解析:由题意可知:4-a≥0且4+a≥0,得a≤4且a≥-4,因此-4≤a≤4.故选A. 2.下列各式成立的是 ( ) A.4×2=8 B.5×4=20 C.4×3=7 D.5×4=20 解析:A错,正确结果为40;B错,正确结果为20;C错,正确结果为12;D正确.故选D. 3.一个长方形的长和宽分别是 cm和 cm,则这个长方形的面积是 . 解析: ×= =25(cm2).故填25 cm2. 4.已知x>0,y>0,则·= . 解析:·=·=·=xy.故填xy. 5.化简:(1);(2)(a≥0,b≥0). 解:(1)=×=6×9=54. (2)=··=3·a·=3a·=3ab. 6.计算:(1)×;(2)4×7;(3)3 ×5;(4)· . 解:(1)×==6. (2)4×7=4×7=28=252. (3)3 ×5=3×5 =15. (4)· = =a.
第1课时 1.二次根式的乘法 2.积的算术平方根的性质 3.例题讲解 例1 例2 例3 |
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