【原】【高考数学】解题能力提升, 每日一题：第671题，三角函数有关的典型例题

典型例题分析1：

已知函数f（x）=2cos2x+cos（π/2﹣2x），

则函数f（x）的最小正周期是，值域是．

解：∵f（x）=2cos2x+cos（π/2﹣2x）

=1+cos2x+sin2x

=√2sin（2x+π/4）+1，

∴函数f（x）的最小正周期T=2π/2=π，

∵sin（2x+π/4）∈[﹣1，1]，

∴f（x）=√2sin（2x+π/4）+1∈[1﹣√2，1+√2]．

故答案为：π，[1﹣√2，1+√2]．

考点分析：

三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．

题干分析：

利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=√2sin（2x+π/4）+1，利用三角函数周期公式可求最小正周期，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x+π/4）∈[﹣1，1]，从而可求f（x）的值域．

典型例题分析2：

若将函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣1/2的图象向右平移φ个单位，所得函数是奇函数，则φ的最小正值是（　　）

A．3π/4

B．3π/8

C．π/4

D．π/8

解：将函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣1/2

=sin2x/2+（1+cos2x）/2﹣1/2

=√2/2·sin（2x+π/4） 的图象向右平移φ个单位，

得到y=√2/2·sin[2（x﹣φ）+π/4]

=√2/2·sin（2x+π/4﹣2φ）的图象．

再根据所得函数是奇函数，

则π/4﹣2φ=kπ，k∈Z，则φ的最小正值为π/8，

故选：D．

考点分析：

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

题干分析：

利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的奇偶性，求得φ的最小正值．

典型例题分析3：

已知函数f（x）=cosωx﹣sinωx（ω＞0）在（﹣π/2，π/2）上单调递减，

则ω的取值不可能为（　　）

A．1/5

B．1/4

C．1/2

D．3/4

解：∵函数f（x）=cosωx﹣sinωx

=√2cos（ωx+π/4）（ω＞0）在（﹣π/2，π/2）上单调递减，

∴2kπ≤ωx+π/4＜≤2kπ+π，

求得﹣π/4ω+2kπ/ω≤x≤3π/4ω+2kπ/ω （k∈Z）．

∵f（x）在（﹣π/2，π/2）上单调递减，

∴﹣π/4ω≤﹣π/2，且π/4ω≥π/2，

求得 0＜ω≤1/2，

故选：D．

考点分析：

正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．

题干分析：

利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（x）的减区间，结合条件可得，﹣π/4ω≤﹣π/2，且3π/4ω≥π/2，由此求得ω的范围，从而得出结论．