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图解数学VS几何直观 南京师范大学苏州实验学校 / 陈 云 在当前的小学数学课堂上，我们常常感觉到学生知识的累积速度与思维的发展速度并不匹配。学生解决一类问题时并不能够清楚地说出自己的思维过程，较多的问题解决是在简单重复和模仿套用。基于这样的现状，我们展开了“运用思维可视化发展小学生数学思维的实践研究”，提出通过“图解数学”的方式帮助学生看清自己的思维路径，并在长期的运用中改变学生的数学思考方式、提升学生的数学思维品质。 一、“图解数学”与“几何直观”内涵本质上的联系 几何直观是利用图形描述和分析问题，以实现“直接地把握”研究对象。我们提出的“图解数学”也是要让“图”成为学生理解知识的“锚”。当数学问题开始变得复杂、抽象、容易混淆时，学生的理解和分析就需要“图”的支撑和辅助。这个“图”就是为了“直接地把握”研究对象，以弥补文字描述无法呈现或难以清晰呈现的思考路径和思考过程，提升学生元认知能力和互动交流的效果。 例如，在植树问题的教学中，学生通过画图等方式已经知道了植树问题的三种“模型”，但遇到生活中的问题时还是不会灵活运用。教师在运用阶段给出这样的问题：小明的爸爸要出差啦，他7月5日出发，7月10日回来，你知道小明的爸爸离开家一共有几天吗（不足一天按一天计算）？乍一看，这个问题和植树问题没有什么联系，不少学生认为用“10－5”就可以解决了。为了打通问题之间的联系，教师可让学生对自己的思考过程进行图解。
学生把图1和植树问题的图放到一起进行解读：爸爸从5号出门，点的数量就表示爸爸不在家的天数，点与点之间的距离是两天之间经过的时间；这个图和植树问题两端都栽的情况是一样的，一共有6个点，也就是表明爸爸离开家一共是6天，“10－5”只是算出了有5个间隔，5个间隔的意思是经过了5天时间；但是题目中说的是不足一天按一天计算，所以不是计算经过了几天，而是把开始的5号和最后的10号都算进去，总共的天数就是6天了。 借助“图解”，学生初步体会到最初“10－5”算法的不合理，这就是我们所说的“图解数学”。同时，像这样利用图形描述和分析问题，把易混淆的数学问题变得更加形象也是一种几何直观。因此，“图解数学”和“几何直观”在内涵本质上是不可分割的关系，“直观”离不开“图解”，“图解”就是为了“直观”。 二、“图解数学”与“几何直观”目标指向上的区别 “几何直观”不仅仅是指直接看到图示（直接看到的是一个层次），更重要的是依托看到的图示进行思考、想象，是一种通过图形对“量”以及“量”与“量”之间的关系展开想象、进行逻辑推理的能力。从这个意义上来说，“几何直观”是为了在“数学—图形”之间建立起关系链，借助相关图示直观地描述数学问题中的“量”以及把数量关系和空间关系清楚呈现出来，从而帮助学生发现、描述和研究数学问题，寻求解决问题的思路，这就是“几何直观”的目标指向。 例如，在长方形面积的学习过程中，有这样一个问题：“小区中原来有一个长15米、宽8米的长方形花坛，扩建后花坛的长和宽都增加了3米，问花坛增加了多少平方米？”有学生会列式为15×3＋8×3。为了帮助学生找到问题所在，教师可引导学生发挥想象，画出花坛扩建后的样子（如图2），在图中找到15×3和8×3分别是哪一块的面积。通过这样图示的直观描述，学生就非常清楚其中的数量关系了。
再来看“图解数学”，我们提出的“图解数学”是运用一系列图示并配合语言表征把学生本来看不见的思考方法或思考路径呈现出来，使思维的过程清晰可见。这里的图示可以是模型图、关系图、思维导图、表格等比较规范的方式，也可以是学生认为能清楚表达自己想法，又能让其他人看得明白的任意“不规范”的图解；这里的思考方法是指学习过程中常用的抽象、概括、区分、推理、分析、综合等；而思考路径则指学生思考过程中的思维发展线索，可能是该知识点与其他知识的横向联系，也可能是一个知识纵向发展的过程，还可能是学生另辟蹊径的侧向切入等。“图解数学”的目标指向就是呈现思维过程，助力学生把零散的知识变成知识体系，形成知识结构；助力学生理性进行解题策略的分析，从而了解自己的思考流程；助力学生从不同的思考方法中取长补短，自主完善建构。 例如，在“用单价10元的牛奶8千克和单价5元的果汁2千克，混合成牛奶果汁，每千克应该以什么价格出售？”这一加权平均数的问题中，受到算术平均数算法的负迁移，不少学生认为是（10＋5）÷2＝7.5元。这时，教师可及时引导学生图解自己的思路。在排除一些错误的思路之后，结合已有的平均数相关知识，有学生画出10千克牛奶果汁的价格是如何进行平均分的（如图3）。这样的“移多补少”给其他学生很大的启发：原来这里不是1个10元和1个5元平均，而是8个10元和2个5元在平均。
图3呈现了两种不同但都正确的思考路径，在这种外部刺激的影响下，其他学生也逐渐打开思路，明白了这里虽然也是平均分，但不是把15元平均分，而是要把90元平均分给10千克，初步理解了加权平均数与算术平均数的“异”与“同”。这种带有比较强烈的个人色彩的图解，也许不能规范地呈现问题中的“量的关系”，却帮助学生完成了迁移和推理的过程。小学生理解加权平均数是有一定困难的，而借助图解就能很好地帮助学生架起加权平均数与算术平均数之间的桥梁，助力学生把它们统整到相同的知识体系内。我们在课题研究的课堂诊断中发现：很多教师在遇到学生困惑的问题时总是习惯于按照自己理解和思考的方式或构图或讲述，试图让学生接受自己的想法。事实上，学生如果没有建构起属于自己的理解，会始终停留在原有的错误思维中“难以自拔”。“图解数学”正是要让教师读懂学生的思考方法、让学生看清自己的思考路径，用思维的分析来带动知识和技能的教学，细化知识的形成与同化过程。 三、“图解数学”与“几何直观”表现形式上的区别 为了能够更好地体现出数量关系，几何直观在借助于实物图、示意图、线段图等形式时会有相对固定的模式。对于同样的数量关系，即便选择的呈现方式可能是实物，可能是矩形，也可能是线段，但“量”的多少及关系总是不变的，哪怕问题表述方式并不相同，但只要数量关系相同，呈现出来的直观图也基本相同或相似。 例如，一年级学习9加4的进位加法，可能是苹果图，可能是小棒图，但画出来的都是下面两种形式（如图4）：
在五年级学习分数的问题后，以下三种问题，已知的信息和提出的问题并不相同，但因为其中的数量关系不变，画出来的线段图（如图5）就是一样的，而且基本是不可以改变的。 ①果园栽了200棵苹果树，梨树比苹果树多1/5，果园里栽了多少棵梨树？ ②果园栽了240棵梨树，比苹果树多1/5，果园栽了多少棵苹果树？ ③果园栽了200棵苹果树和240棵梨树，梨树比苹果树多几分之几？
再来看“图解数学”，当思考的切入点不同时，学生画出来的图解就是不一样的。又由于“图解数学”在表现形式上没有特别的规范要求，不同层次的学生对同样问题的解读可能深入、可能肤浅，但或许都能解决问题。这就让不同的学生在数学学习中都能找到适合自己的路子，而不是必须模仿教师认为的“最佳路线”。 例如，有这样一个问题“用一个杯子向空水壶里倒水，如果倒进3杯水，连壶重740克，如果倒进5杯水，连壶重980克。每杯水重多少克？”3位学生都列出了“（980－740）÷2”的正确算式，却给出了不同的图解（如图6）。
图6呈现出学生对同一问题的解答有着不同的理解，其中有对也有错。无须教师的讲解分析，学生在对几幅图解的分析比较中，不难发现同样的算式背后有“不一样的故事”。有学生忘记了“壶”的存在（如图6中第一幅图解），有学生把“壶”与“水”的重量等同了（如图6中第二幅图），只有图6中第三幅图解才是正确的思路。借助于图解，学生可以完成自我思维症结的诊断，及时进行思路上的调整。如果忽略谁对谁错的问题，我们可以看到：因为不必纠结于表达形式上的“规范”，学生的表达过程更加“随心”，更能体现自己真实的思考方法和思维路径。这样有利于师生审视思考过程，明晰正确的问题解决思路。我们在课题研究的课堂诊断中也发现，“线段图”这样的几何直观因其过于规范和对数量关系表达上的不可变更，学生并不是很会使用。尽管教师用了很多精力进行教学，不少学生还是先列算式，然后再看着算式拼出线段图，本末倒置了。而“图解数学”有更多的自由空间，我们弱化形式的要求，强化思维过程的表达，让学生获得这样的感受：画图并不是很难的一件事，而是可以理解的、可以画好的、可以表达我的想法的。 集思广益，交流思考； 凝聚共识，一起成长。 |
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