【原】按函数作图像的一般步骤，作三次函数图像的实例分析

作函数图像的一般步骤是：1、求函数的定义域；2、考察函数的奇偶性、周期性；3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5、考察渐近线；6、画出函数图象。

下面以作函数f(x)=x^3+6x^2-15x-20的图像为例，来强化一下作函数图像的一般骤。

分析：1、首先，这个函数是定义在R上的。2、函数既没有奇偶性，也没有周期性。3、可以求得曲线与x轴有三个交点，与y轴有一个交点。不存在断点和不可导点。4、函数有两个稳定点，一个是极大值点，一个是极小值点。在极大值点的左侧和极小值点的右侧函数单调增，反之单调减。另外函数有一个拐点，在拐点左侧函数上凸，右侧函数下凸。5、最后函数并不存在渐近线。

下面是详细的解题过程，不存在的并不做介绍，并且有一些地方做了适当的调整：

解：f在R上可导. 【同时说明定义域，连续和可导的性质】

当f(x)=(x+1)(x2+5x-20)=0时, x=-1或x=(-5±根号105)/2;

所以f与x轴有交点(-5-√105,0)，(-1,0)，(-5+√105,0);

f(0)=-20, f与x轴有交点(0,-20),

当f’(x)=3x^2+12x-15=3(x+5)(x-1)=0时, x=-5或x=1.

当x<-5或x>1时, f’>0, f单调增；当-5<x<1时, f’<0, f单调减.

f有极大值点(-5,80), 有极小值点(1,-28).

f”(x)=6x+12, 当x<-2时,f”<0, f凸；当x>-2时, f”>0, f凹.

f有拐点(-2,26).

函数图像的性态如表：

函数图像如图：

这个图像很难画得准确。纵轴上的单位长度和横轴上的单位长度的比例是不同的。这里采用的比例尺，横轴的比例尺几乎是纵轴的比例尺的20倍。你学会用一般步骤画函数的图像了吗？