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【知识要点】 知识点一 投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 n 平行投影 概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。 特征： 1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
1.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. 2.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 即：
n 中心投影 概念：由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。 1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 中心投影与平行投影的区别与联系：
n 正投影 正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
① 线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、 ② 线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； ③ 线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 2.平面图形正投影也分三种情况，如图所示. ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. 3.立体图形的正投影.
知识点二 三视图 三视图的概念： 视图概念：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. 1.位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示. 画几何体三视图的基本方法： 由三视图想象几何体的形状 利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积。 【考查题型】
考查题型一 与平行投影有关的计算 典例1．（贵州贵阳市·中考真题）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ） A． 【答案】D 【提示】根据太阳光下的影子的特点：（1）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向；（2）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体高度成比例，据此逐项判断即可． 【详解】选项A、B中，两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项A、B错误 选项C中，树高与影长成反比，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项C错误 选项D中，在同一时刻阳光下，影子都在同一方向，且树高与影长成正比，则选项D正确故选：D． 变式1-1．（山西晋中市一模） A． 【答案】B 【提示】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m， ∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m
∴ ∴ ∴DE= 故选：B． 变式1-2．（甘肃张掖市模拟）下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：
将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ） A．③④②① B．②④③① C．③④①② D．③①②④ 【答案】C 【提示】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序． 【详解】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．所以正确的是③④①②．故选：C． 考查题型二 与中心投影有关的计算 典例2．（银川二模）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】B 【提示】小亮由A处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到B处，他的影子则由短变长． 【详解】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长． 故选B． 变式2-1．（盐城市三模）如图，位似图形由三角板与其在灯光照射下的中心投影组成，已知灯到三角板的距离与灯到墙的距离的比为
A． 【答案】A 【提示】根据位似图形的性质得出相似比为2：5，则对应边的比为2：5，即可得出投影三角形的对应边长． 【详解】由于三角板与其在灯光照射下的投影是位似图形，且相似比为 故选A. 变式2-2．（辽宁沈阳市模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【提示】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长． 【详解】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）． ∴PD＝1，PE＝2，AB＝3， ∵AB∥A′B′， ∴△PAB∽△PA′B′， ∴ ∴A′B′＝6， 故选：C． 考查题型三 确定正投影的图像 典例3．（南通市三模）把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A． 【答案】A 【解析】 根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解． 把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形． 变式3-1．（河北邢台市二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． 【答案】C 【提示】根据正投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解． 【详解】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．故选C． 变式3-2．（福州模拟）如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）
A． 【答案】D 【提示】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形． 【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合， 故选D． 考查题型四 判断几何体的三视图 典例4．（辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的主视图对应的几何体是（ ）
A． 【答案】B 【提示】根据主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图，逐一判断即可． 【详解】A：的主视图为 B：的主视图为 C：的主视图为 D：的主视图为 答案故选B 变式4-1．（广东广州市·中考真题）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形 B．该圆锥的主视图是中心对称图形 C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【答案】A 【提示】首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可得答案． 【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形， 所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A正确， 该圆锥的主视图是中心对称图形，故B错误， 该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C错误， 该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D错误， 故选A． 变式4-2．（广东深圳市·中考真题）下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．正方体 【答案】D 【提示】分别得出圆锥体、圆柱体、三棱柱、正方体的三视图的形状，再判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意； 圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意； 三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意； 正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意； 故选：D． 考查题型五 画三视图 典例5．（河北中考真题）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同 B．仅俯视图不同 C．仅左视图不同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】D 【提示】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案． 【详解】第一个几何体的三视图如图所示：
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同， 故选D． 变式5-1．（贵州毕节市·中考真题）下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是（ ） A． C． 【答案】D 【提示】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】 解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故A错误； 故选D． 变式5-2．（山东德州市·中考真题）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（ ）
A．主视图 B．主视图和左视图 C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图 【答案】D 【提示】根据从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从上边看得到的图形都是第一层一个小正方形，第二层是三个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D． 变式5-3．（黑龙江牡丹江市中考真题）如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． 【答案】A 【提示】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，有1个立方块；中间有2竖列，其中1列有2个立方块；右边是1竖列，有1个立方块；结合四个选项选出答案． 【详解】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，其中1列有2个立方块，右边是1竖列． 故选：A． 考查题型六 由三视图还原原图形 典例6．（内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是
A． 【答案】B 【提示】本题可利用排除法解答.从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除A，C，D. 【详解】从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除A选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故C、D选项不符合题意， 故选B． 变式6-1．（山东烟台市·中考真题）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． C． 【答案】B 【提示】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项． 【详解】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形． 故选：B． 变式6-2．（浙江中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． 【答案】A 【提示】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】∵主视图和左视图是三角形， ∴几何体是锥体， ∵俯视图的大致轮廓是圆， ∴该几何体是圆锥． 故选：A． 变式6-3．（湖北荆门市·中考真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B．2 C． 【答案】A 【提示】由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解． 【详解】 解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2， 则，等腰直角三角形的底面积 体积=底面积×高 故选：A 考查题型七 与三视图有关的计算问题 典例7．（江苏南通市·中考真题）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2 【答案】B 【提示】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积． 【详解】 解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6， 所以这个几何体的侧面积＝ 故选：B． 变式7-1．（四川中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（ ）
A．20π B．18π C．16π D．14π 【答案】B 【提示】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可． 【详解】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为 ∴这个几何体的表面积 =底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积
=22π+2 故选：B． 变式7-2．（四川达州市·中考真题）图2是图1中长方体的三视图，若用
A． 【答案】A 【提示】 直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案． 【详解】 解：∵S主 ∴主视图的长 则俯视图的两边长分别为： S俯 故选：A． 变式7-3．（青海中考真题）在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟共有（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．17个 【答案】C 【提示】先根据俯视图得出碟子共有3摞，再根据主视图和俯视图得出每摞上碟子的个数，由此即可得． 【详解】由俯视图可知，碟子共有3摞 由主视图和左视图可知，这个桌子上碟子的摆放为 则这个桌子上的碟共有 故选：C． 变式7-4．（四川雅安市·中考真题）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【提示】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案. 【详解】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5， 变式7-5（黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A． 【答案】B 【提示】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可． 【详解】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个， ∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）； 故选：B． |
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