待定系数——零化因子法引言： 我们在第4.1节中看到，一个 阶的微分方程可以写成如下形式： 其中 。在适当的情况下，（1）也可以写成 ，其中 表示线性 阶微分或多项式算子，具体为： 算子符号不仅是一个有用的简写，而且在实际应用中，微分算子的使用使我们能够证明在前一节中提出的用于确定特解 形式的有点令人困惑的规则。在这一节中，没有特殊的规则；一旦我们找到一个适当的线性微分算子，使得它使 在（1）中消失， 的形式几乎可以自动得出。在研究如何做到这一点之前，我们需要讨论两个概念。 因子算子：当系数 是实常数时，线性微分算子（1）可以分解，只要特征多项式 可以分解。换句话说，如果 是辅助方程的根 那么 ，其中多项式表达式 是一个 阶的线性微分算子。例如，如果我们将 视为代数量，那么算子 可以分解为 或 。因此，如果一个函数 具有二阶导数，那么 这说明了一个一般性质： 带有常数系数的线性微分算子的因子是可交换的。 例如，微分方程 可以写成 湮灭算子：如果 是一个具有常数系数的线性微分算子，而 是足够可微的函数，使得 那么 被称为该函数的湮灭算子。例如，一个常数函数 被 湮灭，因为 。函数 被二阶微分算子 湮灭，因为 的一阶和二阶导数分别是1和0。类似地，，依此类推。 微分算子 湮灭以下每个函数 作为（3）的直接推论和微分可逐项进行的事实，一个多项式 可以通过找到一个湮灭最高次幂的 的算子来湮灭。 被线性 阶微分算子 湮灭的函数简单地是那些可以从齐次微分方程 的通解得到的函数。 微分算子 湮灭以下每个函数 要看到这一点，注意到齐次方程 的辅助方程是 。由于 是多重根，通解为 示例 1 湮灭算子找到一个湮灭给定函数的微分算子。 (a) (b) (c) 解答： (a) 根据（3），我们知道 ，所以根据（4），我们有 (b) 根据（5），取 和 ，我们可以看到 (c) 根据（5）和（6），取 和 ，我们有 当 和 是实数时，二次方程的解法揭示出 有复数根 ，每个根的重数都是 。从第4.3节末尾的讨论，我们得到了以下结果。 微分算子 湮灭以下每个函数 ——(7) 示例 2：湮灭算子找到一个湮灭 的微分算子。 解答：观察函数 和 ，我们可以发现 和 。因此，根据（7），我们得出结论，微分算子 将湮灭每个函数。由于 是线性算子，它将湮灭这些函数的任何线性组合，如 。 当 和 时，（7）的一个特殊情况是 例如， 将湮灭 和 的任何线性组合。 通常，我们有兴趣湮灭两个或更多函数的和。正如我们在示例1和示例2中所看到的，如果 是一个线性微分算子，满足 和 ，那么 将湮灭线性组合 ，这是定理4.1.2的直接推论。现在假设 和 是具有常数系数的线性微分算子，使得 湮灭 并且 湮灭 ，但 和 。那么微分算子的乘积 将湮灭线性组合 。我们可以轻松地证明这一点，利用线性性和事实 ： 例如，我们知道根据（3）， 湮灭 ，并且根据（8）， 湮灭 。因此，算子的乘积 将湮灭线性组合 。 注意：湮灭一个函数的微分算子并不是唯一的。我们在示例1的（b）部分看到 将湮灭 ，但只要 是算子的因子之一，高阶微分算子也会湮灭它，例如 和 都会湮灭 。（请验证）当我们寻找一个函数 的微分湮灭算子时，我们通常希望找到一个最低阶的算子。 待定系数法这将我们带到了前面讨论的重点。假设 是一个具有常系数的线性微分方程，且输入 由（3）、（5）和（7）中列出的函数的有限和与积构成 - 也就是说， 是形式如下的函数的线性组合： 其中 是非负整数， 和 是实数。我们现在知道这样的函数 可以被最低阶的微分算子 消除，该算子由 和 的乘积组成。将 应用于方程 的两边得到 。通过解齐次的高阶方程 ，我们可以找到原始非齐次方程 的特解 的形式。然后，我们将这个假定的形式代入 中，以找到明确的特解。这个用于确定 的过程称为待定系数法，下面的几个示例将对其进行说明。 在继续之前，请回忆一下非齐次线性微分方程 的通解是 ，其中 是余函数——也就是相关齐次方程 的通解。每个方程 的通解都在区间 上定义。 示例 3 使用待定系数法求解解决 。 解答步骤1：首先，我们解齐次方程 。然后，从辅助方程 ，我们得到 和 ，因此余函数为 步骤2：现在，由于 被微分算子 湮灭，我们可以看到 与 相同。 方程（10）中的五阶方程的辅助方程是 其根为 和 。因此，它的通解必须是 在方程（11）中阴影框中的项构成了原方程（9）的余函数。我们可以推断出原方程（9）的一个特解 也应满足方程（10）。这意味着方程（11）中剩下的项必须是 的基本形式： 为了方便，我们用 和 分别代替了 和 。 为了使（12）成为（9）的特解，需要找到具体的系数 和 。对（12）进行微分，我们有 将其代入（9）得到 因为最后一个方程应该是一个恒等式，所以相似幂次的系数必须相等： 即 解方程得到 和 。因此，。 步骤3：方程（9）的通解是 或 示例4 使用待定系数法求解解决 。 解答步骤1：相关齐次方程的辅助方程是 ，所以 。 步骤2：现在，由于 和 ，我们将微分算子 应用于（14）的两边： 方程的辅助方程是 因此， 在排除 的项的线性组合后，我们得到 的形式： 将 代入原方程并简化得到 等式系数给出 和 。我们得出 ，，，因此， 步骤3：方程的通解是 示例5 使用待定系数法求解解决 。 解答：余函数是 。现在通过比较 和 与（7）中第一行的函数，我们可以看到 和 ，因此 是右侧的消除项。将该算子应用于微分方程给出 由于 和 都是最后微分方程的辅助方程的多重复数的复根，我们得出 我们代入 并简化： 利用系数相等得到以下方程组：，以及 。从中我们得出 ，和 。因此，方程的一般解是 示例6 特解的形式确定方程 的特解形式。 解答：给定方程的齐次函数是 。 现在根据（7），取 和 ，我们知道 将算子 作用于原方程得到 由于上面的辅助方程的根是 ，我们可以从 中看出，原方程的特解可以用以下形式找到： 示例7 特解的形式确定方程 的特解形式。 解答：观察到 因此，将 作用于原方程得到 或 最后一个微分方程的辅助方程的根很容易看出是 和 5。因此， 因为线性组合 对应于原方程的齐次解，所以上述通解中的剩余项给出了微分方程的特解形式： 方法总结不定系数法——零化因子法 微分方程 具有常系数，函数 由常数、多项式、指数函数 、正弦和余弦的有限和与积分组成。 (i) 找出齐次方程 的齐次解 。 (ii) 对非齐次方程 两边使用湮没函数 的微分算子 。 (iii) 找到更高阶齐次微分方程 的一般（通）解。 (iv) 从步骤（iii）中的解中删除在步骤（i）中找到的齐次解 中重复的项。形成剩下项的线性组合 。这是微分方程 的特解形式。 (v) 将在步骤（iv）中找到的 代入 。匹配等式两边各种函数的系数，并解出 中未知系数的结果方程组。 (vi) 使用在步骤（ ）中找到的特解，形成给定微分方程的通解 。 备注： 待定系数法不适用于具有变系数的线性微分方程，也不适用于具有常系数的线性方程，如，当 是 等函数时。输入 是最后一类函数的微分方程的情形将在下一节中讨论。 |
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