【原】【超级方法】二次函数区间最值中考热点

二次函数区间最值是全国中考数学的热点，也是进入高中学习二次不等式三个二次的重要组成部分，这部分内容相对比较抽象，是初中对于函数思维以及数形结合思想的考察部分。二次函数区间最值分类讨论较多，结合新定义及其包装题干也比较多，本篇内容进行二次函数区间最值6类讲解。

一：定轴定区间

定轴定区间是区间最值的最基础部分，涉及方法共计两种：

一：数形结合。根据二次函数的解析式进行描点作图，在图像中标注二次函数在X取值范围下函数范围，进行Y值的大小取值。

二：口诀法，通过二次函数值的比较大小的问题口诀，通过二次函数a的大小，开口结合最值与X轴的关系直接进行。

当x取何值时，二次函数y＝2x²﹣8x+1有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？

（1）0≤x≤1时，最大值和最小值

（2）1≤x≤3时，最大值和最小值

（3）3≤x≤6时，最大值和最小值

【解答】解：∵y=2x²-8x+1=2（x-2）²-7，
∴对称轴x=2，顶点坐标为（2，-7）．
∵a=2＞0，开口向上，
∴函数有最小值，当x=2时，函数的最小值为-7．
（1）0≤x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x=0时，有最大值，最大值为1，
x=1时，有最小值，最小值为-5．
（2）1≤x≤3时，x=1或x=3时，有最大值，最大值为-5，
，x=2时，有最小值，最小值为-7．
（3）3≤x≤6时，y随x的增大而增大，
x=3时，有最小值，最小值为-5，
x=6时，有最大值，最大值为25，

二：动轴定区间

所谓的定轴定区间实际为二次函数表达式对称轴不固定，X的取值范围固定，这部分题目的运用需要对于表达式进行顶点式转化，其次通过对称轴在区间范围的左中右三部分进行分类讨论，对于基础相对薄弱的学生最好进行数形结合。

1．已知二次函数y=﹣（x﹣h）²（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　　）

A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6

解：当h＜2时，则x=2时，函数值y有最大值，
故-（2-h）²=-1，
解得：h₁=1，h₂=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）²的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，则x=5时，函数值y有最大值，
故-（5-h）²=-1，
解得：h₃=4（舍去），h₄=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．

2．已知二次函数y=（x﹣h）²+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）

A．3或5 B.﹣1或1   C .﹣1或5    D,3或1

答案：C

三：定轴动区间

动轴定区间恰好与二次函数定轴动区间相反，即：二次函数固定，X的范围在变化，所以这部分的内容只是定轴动区间的逆运用，在固定二次函数的前提下，考虑区间在对称轴的左中右。

1．已知关于x的二次函数y=x²﹣2x﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值为（　　）

A．﹣1或1    B．1或﹣3 C.﹣1或3 D．3或﹣3

解：当y=1时，有x²-2x-2=1，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，
∴a=-1或a+2=3，
∴a=-1或a=1．
故选：A．

2．当a≤x≤a+1时，函数y=x²﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　）

A．﹣1  B．2  C．0或2   D﹣1或2

【解答】

解：当y=1时，有x²-2x+1=1，
解得：x₁=0，x₂=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=-1，

故选：D．

四：动轴动区间

动轴动区间为双动问题，讨论基本思路是对称轴与区间的位置关系，也是分左中右进行讨论，只不过是讨论过程中也需要遵循对称轴变量与区间变量的关系，在求解的过程中相对稍微复杂一些。

1．已知二次函数y＝x²+mx+n（m，n为常数）．

（1）当m＝2，n＝﹣3时，请判断抛物线y＝x²+mx+n与x轴的交点情况，并说明理由；

（2）当n＝m²时，

①请求出抛物线y＝x²+mx+n的顶点P的坐标（用含m的式子表示）；并直接写出点P所在的函数图象解析式；

②若在自变量x满足m≤x≤m+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

五：区间范围问题

区间范围问题实际为区间最值变成范围以及比较大小，基本思路以及基本做法一样，只是最值变成范围。基本思路一样。

已知抛物线P：y＝x²+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是    

二次函数y＝ax²+2ax+3（a为常数，a≠0），当a﹣1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为   

新定义下的区间最值

新定义的区间最值实际把二次函数进行不断的包装，在定义新的二次函数里面与区间最值进行结合，基本思路相同，重点需要抽丝剥茧，寻找题目隐藏背后的知识点以及内容，把二次函数的信息获取全面。

在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax²﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点

，且当m≤x≤0时，函数y＝ax²﹣4x+c+（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是    

点个在看你最好看