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冲击2018年中考数学,专题复习59:四边形相关综合题、压轴题

2018-05-10  当以读书...

在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1,旋转角为θ(0°<θ<90°),连接AC1、BD1,AC1与BD1交于点P.

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形.

①求证:△AOC1≌△BOD1.

②请直接写出AC1与BD1的位置关系.

(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,AC=5,BD=7,设AC1=kBD1.判断AC1与BD1的位置关系,说明理由,并求出k的值.

(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形,AC=5,BD=10,连接DD1,设AC1=kBD1.请直接写出k的值和AC12+(kDD1)2的值.

冲击2018年中考数学,专题复习59:四边形相关综合题、压轴题

冲击2018年中考数学,专题复习59:四边形相关综合题、压轴题

冲击2018年中考数学,专题复习59:四边形相关综合题、压轴题

考点分析:

四边形综合题;全等三角形的判定与性质;旋转的性质;相似三角形的判定与性质.

题干分析:

(1)①如图1,根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB,AC⊥BD,则∠AOB=∠COD=90°,再根据旋转的性质得OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,则OC1=OD1,利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1,然后根据“SAS”可证明△AOC1≌△BOD1;

②由∠AOB=90°,则∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,

所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,则∠APB=90°所以AC1⊥BD1;

(2)如图2,根据菱形的性质得OC=OA=AC/2,OD=OB=BD/2,AC⊥BD,则∠AOB=∠COD=90°,再根据旋转的性质得OC1=OC,OD1=OD,∠COC1=∠DOD1,则OC1=OA,OD1=OB,利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1,加上OC1/OD1=OA/OB,根据相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1,得到∠OAC1=∠OBD1,由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°,

则∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°,则∠APB=90°,所以AC1⊥BD1;然后根据相似比得到AC1/BD1=OA/OB=AC/BD=5/7,所以k=5/7;

(3)与(2)一样可证明△AOC1∽△BOD1,则AC1/BD1=OA/OB=AC/BD=1/2,所以k=1/2;根据旋转的性质得OD1=OD,根据平行四边形的性质得OD=OB,则OD1=OB=OD,于是可判断△BDD1为直角三角形,根据勾股定理得BD12+DD12=BD2=100,所以(2AC1)2+DD12=100,于是有AC12+(kDD1)2=25.

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