时间飞快,开学已是第二周,不知各位同学是否已经调整好状态,全身心投入新学期的学习,本讲我们重点对平行的判定和性质运用中的稍难题作个整理.重点分2个版块, 1、学会寻找中间角; 2、认识平行线拐角模型. 首先,接上一讲《七下第1讲 平行线判定&性质精析(1)———掌握几个诀窍》例6的勘误
| 例6:
如图,AC平分∠BAD,∠ACB=∠BAC,∠D=90°,EF⊥CD,试说明BC∥EF.
分析: 由∠D=90°,EF⊥CD,可证AD∥EF,则再证AD∥BC,利用平行的传递性即可得证.
解答:
∵AC平分∠BAD(已知) ∴∠1=∠3(角平分线定义) ∵∠1=∠2(已知) ∴∠2=∠3(等量代换) ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行) ∵EF⊥CD(已知) ∴∠4=90°=∠D(垂直定义) ∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行) ∴BC∥EF(平行于同一直线的两直线平行) |
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平行线的许多证明题,需要在判定定理与性质中不断切换。 由角等(互补),得平行,是判定. 由平行,得角等(互补),是性质. 而在证明时,我们时常需由结论倒推,找到其中关键的中间角.
| 例1:
如图,AD∥BC,∠A=∠C,试说明AB∥DC.
分析: 要证AB∥DC,结合已知的∠A和∠C,可以借助∠CDE=∠A,或∠ABF=∠C来证,以∠CDE为例,它就是一个关键的中间角,不仅与∠A是同位角,与∠C也是内错角,位置特殊,非常重要.
解答:
∵AD∥BC (已知) ∴∠C=∠CDE(两直线平行,内错角相等) 又∵∠A=∠C (已知) ∴∠A=∠CDE(等量代换) ∴AB∥DC(同位角相等,两直线平行) |
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| 变式:
如图,∠1=∠2,∠A=∠C.试说明∠E=∠F.
分析: 本题同样要关注中间角,∠1=∠2的条件不能继续得到结论,就得找中间角.显然,找它们的对顶角,如∠1的对顶角就是∠2的同位角,接着可以证AB∥CD,而要将平行的条件与∠A=∠C结合起来,又要再找一个中间角,结合例1,易知可找∠ABF或∠CDE.
解答:
如下图, ∵∠2=∠3(对顶角相等) 又∵∠2=∠1(已知) ∴∠1=∠3(等量代换) ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行) ∴∠A=∠4(两直线平行,同位角相等) 又∵∠A=∠C(已知) ∴∠C=∠4(等量代换) ∴AE∥FC(内错角相等,两直线平行) ∴∠E=∠F(两直线平行,内错角相等) |
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| 例2:
如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,你能判断∠ACB与∠AED的大小关系吗?说明理由.
分析: 本题同样也要找中间角,∠1+∠2=180°的条件不能直接用,不难发现∠1的邻补角和∠2是内错角,这就是关键的中间角,推出∠DFE与∠2相等后,可证AB∥EF,此时结合∠B=∠3的条件,可发现,∠ADE是关键角.
∵∠1+∠2=180°(已知) ∠1+∠DFE=180°(邻补角定义) ∴∠2=∠DFE(同角的补角相等) ∴BD∥FE(内错角相等,两直线平行) ∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等) ∵∠3=∠B(已知) ∴∠B=∠ADE(等量代换) ∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行) ∴∠AED=∠ACB (两直线平行,同位角相等) |
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初中几何证明中,模型教学还是非常必要的,尤其在一些填空选择中,记住模型结论,往往事半功倍,这一讲,我们就来认识初中阶段几何上的第一个模型,平行线拐角模型.
| 如图,AB∥CD,探究∠B,∠D与∠BED之间的关系. 分析: 显然本题不添加辅助线是无法解决的,因此,从这个模型开始,我们要接触初中阶段几何的第一种辅助线,由于∠B和∠D在被截直线内侧,我们要把∠B和∠D进行转化,可以通过内错角或同旁内角,而此时想到过点E作平行,就可以同时构造出∠B和∠D的内错角.
图1 图2
如图1, ∴∠B=∠1, ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠2=∠D, ∴∠B+∠D=∠1+∠2, 即∠B+∠D=∠BED. 如图2, ∴∠B+∠1=180°, ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠2+∠D=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°, 即∠B+∠D+∠BED=360°. |
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| 模型3,4:
如图,AB∥CD,探究∠B,∠D与∠BED之间的关系.
分析: 显然,图形位置虽变,但添加辅助线的方法是不变的.
图3 图4 如图3,过点E作EF∥AB. ∴∠B=∠BEF, ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠D=∠1, ∴∠BED=∠BEF-∠1 即∠BED=∠B-∠D 如图4,过点E作EF∥AB. ∴∠B=∠1, ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∴∠D=∠BEF, ∴∠BED=∠BEF-∠1 即∠BED=∠D-∠B |
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| 例3:
已知AB∥CD,∠1=55°,∠C =100°,则∠A= ______°
分析: 显然,本题蕴含了模型2,求出∠1的补角,∠AEC的度数,利用模型2的结论,即可口算.
由题意得,∠AEC=125°,∠A+∠AEC+∠C=360°,∴∠A=360°-125°-100°=135° |
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| 例4:
如图1,已知AB∥CD,∠E=80°,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,则∠BFD= ______°
分析: 本题其实蕴含了2个模型,模型1和模型2,我们可以分别找出∠ABF,∠CDF与∠BFD的关系,∠E,∠ABE,∠CDE的关系,进而可以利用整体思想来解决.
作EG∥AB,FH∥AB, ∵AB∥CD, ∴EG∥AB∥FH∥CD, ∴∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH, ∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°, ∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360° ∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°, ∴∠ABE+∠CDE=280°, ∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E ∴∠ABF+∠CDF=140°, ∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140° |
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