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面积问题与周长问题是中考的重点内容。 无论什么卷子都可以看到面积问题。 本文选自2020年连云港的中考数学压轴题。 难度不小。难点在于如何进行面积的转化。下面一起来分析一下： 【中考真题】 （2020·连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2，则S1+S2＝ ； （2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）； （3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）； （4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、(BC) ̂围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、(AD) ̂围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）． 【分析】 观察题（1）的图，知道了BE与PF的长度，即可得到△PCF的面积。 但是如何求△AEP的面积呢？边长并不知道。所以肯定和2与6有关系。看看它与△PCF的面积有什么关系呢？ 通过构造辅助线进行观察，可以得到绿色与红色的部分面积相等。那么就可以得到矩形AEPM与矩形CFPN的面积相同，那么△AEP的面积就等于△PCF的面积了。 题（2）图形变成了平行四边形，而且与（1）中略有区别。但是思路肯定也是传承上一题，需要进行等量代换。 由于四个点都是中点，可以得到两个绿色的三角形面积相等，也就是△PBC的面积等于△PCF的面积，那么就可以得到两个四边形的面积之和等于另外两个四边形的面积之和，即S1+S2是平行四边形面积的一半。 那么求△PBD的面积，只需要把四边形PBCD的面积减去平行四边形面积的一半即可。也就是2倍四边形PGCF的面积减去平行四边形面积的一半，也就是2S2-（S1+S2）=S2-S1. 有了前面的基础，那么题（3）也就不难了。 如下图PB与PD把两个绿色的平行四边形面积分割成两半。 由上图可知，1/2的平行四边形面积（大平行四边形S）减去S1与△PBD的面积会等于△PBD的面积加上1/2平行四边形的面积（大平行四边形S）再减去S2的面积。 然后建立登录关系即可： 1/2S-S1-S△PDB=1/2S-S2+S△PBD， 那么就可以得到△PBD的面积为S2-S1的一半了。 题（4）中包含了圆，其实也是进行类似的转化，如下图所示： 然后再连接OP，可以把两个三角形△APC与△BPD分割成4个部分。 把PBC围成的部分（S1）减去1/4圆，加上1/4圆减去PAD围成的部分的面积（S2），就是两个三角形△APC与△BPD的面积之和了。 即S1-S2=S3+S4. 不过不要忘记了，点P的位置有多种，可以在四个扇形中的任何一个，这样四个面积就有点不一样了。具体问题具体分析即可。 【答案】解：（1）如图1中， 过点P作PM⊥AD于M，交BC于N． ∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC， ∴四边形AEPM，四边形MPFD，四边形BNPE，四边形PNCF都是矩形， ∴BE＝PN＝CF＝2，S△PFC=1/2×PF×CF＝6，S△AEP＝S△APM，S△PEB＝S△PBN，S△PDM＝S△PFD，S△PCN＝S△PCF，S△ABD＝S△BCD， ∴S矩形AEPM＝S矩形PNCF， ∴S1＝S2＝6， ∴S1+S2＝12， 故答案为12． （2）如图2中，连接PA，PC， 在△APB中，∵点E是AB的中点， ∴可设S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF＝d， ∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝a+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDG＝a+b+c+d， ∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝S四边形PEBF+S四边形PHDG＝S1+S2， ∴S△ABD=1/2S平行四边形ABCD＝S1+S2， ∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1． （3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形， ∴S四边形EBGP＝2S△EBP，S四边形HPFD＝2S△HPD， ∴S△ABD=1/2S平行四边形ABCD=1/2（S1+S2+2S△EBP+2S△HPD）=1/2（S1+S2）+S△EBP+S△HPD， ∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△EBP+S△HPD）=1/2（S2﹣S1）． （4）如图4﹣1中，结论：S2﹣S1＝S3+S4．
理由：设线段PB，线段PA，弧AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y． 由题意：S1+x+S4＝S1+y+S3， ∴x﹣y＝S3﹣S4， ∵S1+S2+x+y＝2（S1+x+S4）， ∴S2﹣S1＝x﹣y+2S4＝S3+S4． 同法可证：
图4﹣2中，有结论：S1﹣S2=S3+S4． 图4﹣3中和图4﹣4中，有结论：|S1﹣S2|＝|S3﹣S4|．
【总结】 平行四边形的对角线平分面积。
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