【分析】首先由SPAB=S矩形ABCD,得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中,由勾股定理求得BE的值,即PAPB的最小值..AB?【分析】解直角三角形得到AB=10,ABC=60°,根据折叠的性质得到ABD=∠EBD=ABC=30°,BE=AB=10,求得DE=10,BD=20,如图1,平行四边形的边是DF,BF,如图2,平行四边形的边是DE,EG,于是得到结论..BC=AB?DF=BD?
2、(8分)如图,已知:AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,(8分)如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:AB∥DE.(12分)如图,AD为ABC的中线,BE为三角形ABD中线,在BED中作BD边上的高;若ABC的面积为60,BD=5,8、(10分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F,且BE=CF.9、(12分)在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,求证:BM=MN=NC.
2.已知如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,试说明BD=CE。4.如图,已知AC、BD相交于点0,∠A=∠B,∠1=∠2AD=BC.6.如图,有一块边长为4的正方形塑料摸板,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点,两条直角边分别与交于点,与延长线交于点.则四边形的面积是.如图,已知AC、BD交于E,∠A=∠B,∠1=∠2.求证:AE=BE..⑵若∠BAE的平分线AF交BE于F,FD∥BC交AC于D,设AB=5,AC=8,求DC的长。
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD.22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M..35.已知:如图,AB=AC,BD?AC,CE?AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:BE=CD..37.已知:如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE.若AB = 5 ,求AD 的长?又∵AB=AB.48、 (10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
分析:要证AC=AE+CD,AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE,则只要证明CF=CD..例3.如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连接DE交BC于F.求证:DF=EF..分析:要证DF=EF,必须借助三角形全等.而现有图形中没有全等三角形.由等腰三角形条件,可知∠B=∠ACB,作DH∥AE,可得∠DHB=∠ACB.则△DBH为等腰三角形..由BD为∠ABC的平分线,BD⊥AF..∵BD为∠ABC的平分线 ∴∠ABD=∠CBE.
∴AB=CP=1/2AB证明:连接BF和EF.证明:延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=2.∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD∴AC–AB=AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,AE垂直BDBE⊥AE∴点E一定在直线BD上,在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD点E也是BD的中点BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE.
1.已知:在矩形ABCD中,AE(BD于E,6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH,垂足分别是E、F、G、H,求证:EF∥GH。11、在正方形ABCD的对角线BD上,取BE=AB,12、平行四边形ABCD中,∠A、∠D的平分线相交于E,AE、DE与DC、AB延长线交于G、F,求证:AD=DG=GF=FA。24、梯形ABCD的底为AD、BC,26、在梯形ABCD中,AB∥CD,M是BC边。BC=28cm,EF∥AB且EF平分ABCD的面积,47、四边形ABCD中,AD=BC,EF为AB、DC.
例:已知,如图Rt△ABC中,AB = AC,∠BAC = 90°,过A作任一条直线AN,作BD⊥AN于D,CE⊥AN于E,求证:DE = BD-CE.AB = AC.∵AB+BC = 2BD,BC = CD+BD,AB = BE-AE.例:已知,如图,△ABC中,AB = AC,D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,例:已知,如图,在△ABC中,AB = AC,D在AB上,E在AC延长线上,且BD = CE,连结DE交BC于F.例:已知,如图,△ABC中,AB = AC,∠BAC = 120o,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于F,交AB于E.
15、如图:AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B,C,AB=BC,E为BC的中点,且AE⊥BD于F,若CD=4cm,则AB的长度为__________。17、如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.23、如图,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转。17、OE⊥AB..
∴MN=MB+BN=AB+BC=(AB+BC)例:如图,已知BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC的外角∠ACE的平分线,它与BD的延长线交于D.例:已知,如图Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,过A作任一条直线AN,作BD⊥AN于D,CE⊥AN于E,求证:DE=BD-CE.AB=AC.∵AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE.例:已知,如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,例:已知,如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于F.
如图,△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB.如图,△ABC中,AB=AC,D在BC上,DE⊥AB于E,DF⊥BC交AC于点F,若∠EDF=70°,AB=AC,BC=BD=ED=EA.如图,△ABC中,∠C=90°,D为AB上一点,作DE⊥BC于E,若BE=AC,BD=,DE+BC=1,如图,△ABC中,∠ABC,∠CAB的平分线交于点P,过点P作DE∥AB,分别交BC、AC于点D、E.如图,△ABC中,AB=AC, ∠A=100°,BD平分∠ABC,求证:BC=BD+AD.故BE=BC=BD+AD.如图,△ABC中,AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,∠ABD=30°
15.如图,DE是边BC上的两点,AD=AE,请你再添加一个条件:使△ABE≌△ACD.把点A(a,3)向平移三个单位正好在直线y=-x+1上,则a的值是.17.已知那么.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则它的顶角为°19.如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为__________20.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,CFBE交于点P,AC=4,BC=3,AB=5,则△CPB的面积为。
点C把线段AB分成两条线段AC、BC,且满足AC2=AB·BC(或BC2=AC·AB),则点C即为线段AB的黄金分割点,AC:AB=BC:AC(或BC:AB)即为黄金比.⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC=CD:BC→AC2=AD·AB.求证:AB:AC=BD:CD.分析:欲证等积式,需证比例式AB:AC=DF:AF,再看这四条线段能否所属(分配)两个可能相似的三角形中,发现这四条线段分别在△ADF和△ABC中,但形状不相似,即直接证相似不可能.但AB:AC是“双垂直”三角形的边,可以考虑等比代换;
第7讲角平分线的判定与性质。角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。求作:∠AOB的角平分线OC.例1.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,F在AC上BD=DF,5.如图△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE、DF分别垂直AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.6.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28,AB=8cm,AC=6cm,求DE的长..
(2014?山西)一走廊拐角的横截面积如图,已知AB⊥BC,AB∥DE,BC∥FG,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m,的圆心为O,半径为1m,且∠EOF=90°,DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点.若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上,且MN与⊙O相切于点P,P是的中点,则木棒MN的长度为(4﹣2)m..黑龙江牡丹江)如图,已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,OD=30cm.求:直径AB的长..
5.在Rt△ABC中,ACB=90°,CA=CB.点D为线段BC上一个动点(点D不与点B,C重合),连接AD,点E在射线AB上,连接DE,使得DE=DA.作点E关于直线BC的对称点F,连接BF,DF..在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=2AC2,BF2+AF2=2AC2,BF2+EF2=2AC2..AB=AC,BAC=60°,AB=AC,AB=AD,AB=6,AD=8,BD=10.OB=BD=5.设DF=BF=x,AF=AD-DF=8-x.在Rt△ABF中,AB2+AF2=BF2,即62+(8-x)2=x2,解得x=,即BF=,FO===,FG=2FO=
②当A,D,M三点在同一直角三角形的顶点时,求AM的长.(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连结D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.【解题过程】24.(2019·苏州,24,8)如图,△ABC中,点E在BC边上.AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置.使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;
AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE延长AD至H交BC于H;BD=DC;∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC.∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF.证明:因为AB=AC,所以∠EBC=∠DCB因为BD⊥AC,CE⊥AB所以∠BEC=∠CDBBC=CB(公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD已知:如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE.若AB=5,AD的长?
又∵AD=AF?DF,AB=AE+BE,AF=AE,3. 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,P是AD上的任意一点,且AB>AC,求证:AB?AC>PB?PC.4. 已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°CD⊥AB,垂足为D,AE平分∠CAB交CD于F,过F作FH∥AB,交BC于H,求证CF=BH.3. 如图,AD,AE是△ABC的∠BAC的内、外角平分线,过B作AD的垂线交AD的延长线于F,连FC并延长交AE于M,求证:AM=ME.练习:已知:在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中点,AE是∠BAC的平分线,且CE⊥AE于E,连结DE,求DE.
例1(2014·丽水)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是20.例2如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC中点,若DE=5,求AB的长.(2)如图2,△ABC中∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O,过点O作BC的平行线交AB于E,交AC于F.这时EF与BE、CF的关系又如何?7.(2013·牡丹江)在△ABC中,AB=2,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.∴AC2+BC2=AB2,
【例题3】如图,在 △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AD 是斜边 BC 上的高,点 E 为 AB 边上 一点,连接 ED,过点 D 作 DF⊥DE 交 AC 于点 F.图形特点:将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合,然后两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合或者绕该顶点旋转后重合 .【例题4】如图,D 是 AC 上一点,AB=AD,DE∥AB,∠B=∠DAE .【例题5】如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,CE⊥BD 于点 E.
四边形ABCD是正方形,【答案】-1.如图所示:过点M作MF⊥DC于点F,∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,∴2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°,∴∠FMD=30°,∴FD=MD=,∴FM=DM×cos30°=,∴MC=∴EC=MC-ME=-1.(2017重庆A卷第18题)如图,正方形ABCD中,AD=4,点E是对角线AC上一点,连接DE,过点E作EFED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将△EFG沿EF翻折,得到△EFM,连接DM,交EF于点N,若点F是AB的中点,则△EMN的周长是..
例题1、如图,在△ABC 和 △ABD 中,AC = BD ,AD = BC ,求证 : △ABC ≌ △ABD.例题1图。例题2、如图,AB = CD ,AE = DF , CE = FB ,求证 :△ AEB ≌ △DFC.例题2图。∵ DF = CE ∴ DF - EF = CE - EF, 即 DE = CF.例题5、如图,已知 AD 是 △ABC 中 ∠A 的角平分线,AC = AB + BD ,求证:∠B = 2∠C.∵ AC = AB + BD ∴ AE = AB + BD.例题9、如图,E, F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点,AF = CE ,DF = BE ,DF∥BE 。
2、(2013?雅安)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有()个..(2)四边形ABCD是平行四边形..(3)在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中,∠BAD与∠ADC的平分线交于点E,若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”,为什么?
1.(2015江苏泰州,6,3分)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是。3.(2015重庆B卷,25,12分)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.7.(2015四川南充,19,8分)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE..∵AB=AE+EB,EB=AF,AE=DB,∴AB=DB+AF.∴AB=DB-AF.
、填空若△ABC≌△DEF,△ABC的周长为100,AB=30,DF=25,则BC长为..若△ABC≌△A’B’C’,AB=3,∠A’=30°,则A’B’=,∠A=°..如图∠B=∠D=90°,要使△ABC≌△ADC,还要添加条件(只要写出一种情况).如图,D在AB上,ACDF交于E,AB∥FC,DE=EF,AB=15,CF=8,则BD=.三、解答题.如图,点DE在△ABC的BC边上,AB=AC,∠B=∠C,要说明△ABE≌△ACD,只要再补充一个条件,问:应补充什么条件?
24、(12分)如图:在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F。25、(12分)如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG。求证:AB=AC。14、如图(14)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC的中线,过点C作CF⊥AE于F,过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D。15、如图15△ABC中,AB=2AC,∠BAC=90°,延长BA到D,使AD=AB,延长AC到E,使CE=AC。AB=AC,BF=CF。
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